ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УСТАЛОСТНЫХ ИСПЫТАНИЙ НА ОСНОВЕ ГИБРИДНОГО ДВУХЭТАПНОГО МЕТОДА ЧАСТЬ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ: НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ, МАТРИЦА ФИШЕРА И МЕТОД ДЕЛЬТЫ

Л.В. Агамиров Agamirov; В.Л. Агамиров Agamirov; В.А. Вестяк Vestyak; Н.В. Тутова Toutova

doi:10.32326/1814-9146-2026-88-3-125-137

Л.В. Агамиров Agamirov Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва, Национальный исследовательский университет «МЭИ», Москва, Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), Москва
В.Л. Агамиров Agamirov Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва, Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), Москва
В.А. Вестяк Vestyak Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва
Н.В. Тутова Toutova Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), Москва

DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2026-88-3-125-137

Ключевые слова: усталостные испытания, кривая усталости, нелинейная регрессия, гетероскедастичность, матрица Фишера, метод дельты, бинарный поиск, метод Монте-Карло

Аннотация

Рассматриваются теоретические основы оптимального планирования усталостных испытаний материалов и элементов конструкций. Актуальность исследования обусловлена высокой стоимостью и длительностью экспериментального построения кривых усталости (S–N диаграмм), особенно в многоцикловой области, а также наличием ярко выраженной гетероскедастичности – зависимости разброса долговечности от ее среднего значения. Предложен нелинейный взвешенный метод наименьших квадратов для одновременного оценивания всех параметров кривой усталости без предварительной линеаризации, что позволяет устранить принципиальный недостаток традиционных подходов – потерю случайного характера предела выносливости и некорректное занижение его доверительных интервалов. Для двух параметрических моделей (сталь и легкие сплавы) выведены аналитические выражения для матрицы Якоби, информационной матрицы Фишера и асимптотической ковариационной матрицы оценок параметров. На основе метода дельты получена формула для дисперсии предела ограниченной выносливости. Разработана экономическая модель стоимости испытаний, объединяющая затраты на образцы и машинное время. Предложен двухэтапный гибридный метод оптимизации плана: на первом этапе выполняется асимптотическая оценка точности с использованием бинарного поиска, на втором – верификация методом Монте-Карло, что позволяет корректно учитывать реальную точность при малых выборках (n < 25), где классическая асимптотика дает ошибку до 40%. Установлена связь между относительной стандартной ошибкой предела выносливости, коэффициентом вариации и квантилем распределения Стьюдента, что обеспечивает переход от статистических критериев к инженерным требованиям точности.

Литература

1. Zhao Y., Liu Y., Zhang M. Neural network-based optimal design of fatigue testing plans considering heteroscedasticity. Int. J. Fatigue. 2023. Vol. 168. Article No 107432. DOI: 10.1016/j.ijfatigue.2022.107432.
2. Stepnov M.N., Agamirov L.V. Ekonomicheskiy aspekt planirovaniya ustalostnykh ispytaniy obraztsov i elementov konstruktsiy iz legkikh splavov [Economic aspect of planning fatigue tests of specimens and structural elements made of light alloys]. Zavodskaya laboratoriya. 1981. No 2. P. 67–69 (In Russian).
3. Agamirov L.V., Agamirov V.L., Vestyak V.A. Algoritmy planirovaniya ustalostnykh ispytaniy [Algorithms for planning fatigue tests]. Programmnye produkty i sistemy [Software Productsand Systems]. 2014. No 4. P. 205–210 (In Russian).
4. Klemenc J., Fajdiga M. Monte Carlo and Fisher information matrix hybrid method for fatigue experiment planning. Eng. Struct. 2021. Vol. 245. Article No 112958.
5. Gao J., An D., Liu H. Deep learning-assisted optimal design of fatigue experiments with limited prior knowledge. Struct. Multidiscip. Optim. 2025. Vol. 68. Iss. 1. P. 5–22.
6. Wang L., Sun Q., Chen X. Fatigue S–N curve modelling for aluminium alloys: a comparative study of power-law and logarithmic formulations. Materials & Design. 2024. Vol. 237. Article No 112601.
7. Murakami Y., Endo M. Heteroscedasticity of fatigue life and its effect on reliability assessment. Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. 2022. Vol. 45. No 7. P. 1890–1905.
8. ISO 12107:2023. Metallic Materials – Fatigue Testing – Statistical Planning and Analysis of Data. International Organization for Standardization.
9. Schijve J. Statistical analysis of fatigue data. In: Fatigue of Structures and Materials. Chapter 12. Springer. 2023.
10. Seregin A.S., Ogloblin G.V. Statisticheskoe planirovanie ustalostnykh ispytaniy s ispolzovaniem informatsionnoy matritsy Fishera [Statistical planning of fatigue tests using the Fisher information matrix]. Zavodskaya laboratoriya. Diagnostika materialov [Factory Laboratory. Diagnostics of Materials]. 2023. Vol. 89. No 4. P. 52–61 (In Russian).
11. Trusov P.V., Shveykin A.I., Volegov P.S. Neyrosetevaya approksimatsiya krivykh ustalosti dlya alyuminievykh splavov s uchetom geteroskedastichnosti [Neural network approximation of fatigue curves for aluminium alloys considering heteroscedasticity]. Vestnik PNIPU. Mekhanika [PNRPU Mechanics Bulletin]. 2022. T. 4. P. 145–158 (In Russian).
12. Lomakin E.V., Melnikov A.A. Otsenka parametrov krivoy ustalosti metodom Monte-Karlo pri malykh vyborkakh [Estimation of fatigue curve parameters by the Monte Carlo method for small samples]. Problemy prochnosti [Strength of Materials]. 2021. No 3. P. 56–67 (In Russian).
13. Kravchuk A.S., Yakovlev N.O. Optimalnoe planirovanie ustalostnykh ispytaniy na osnove bayesovskogo podkhoda i metoda delty [Optimal planning of fatigue tests based on Bayesian approach and delta method]. Vychislitelnaya mekhanika sploshnykh sred [Computational Continuum Mechanics]. 2024. Vol. 17. No 1. P. 88–102 (In Russian).
14. Gusev E.L., Sorokin V.A. Identifikatsiya nelineynykh S–N krivykh pri geteroskedastichnosti: sravnitelnyy analiz metodov [Identification of nonlinear S–N curves under hetero-scedasticity: a comparative analysis of methods]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of Bauman MSTU]. Vol. 4. P. 34S–N49 (In Russian).
15. Shatalov A.A., Morozov E.M. Statisticheskoe modelirovanie i optimizatsiya ustalostnykh ispytaniy metallov [Statistical Modeling and Optimization of Fatigue Testing of Metals]. Moscow. MGTU im. Baumana Publ. 2023. 312 p. (In Russian).
16. Nieslony A., Bo..hm M. D-optimal design of fatigue experiments: Algorithm and implementation in Matlab. Int. J. Fatigue. 2021. Vol. 146. Article No 106145.
17. Pavlou D.G. Adaptive fatigue testing planning using sequential Bayesian inference. Eng. Fract. Mech. 2022. Vol. 265. Article No 108312.
18. Scho..nherr J., Reiter M., Antretter T. Comparison of Bayesian and maximum likelihood methods for small-sample fatigue data. Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures. 2023. Vol. 46(5). P. 1876–1891.
19. Chen S., Wang H., Li Y. Markov chain Monte Carlo for uncertainty quantification in S–N curve fitting. Reliab. Eng. Syst. Saf. 2022. Vol. 218. Article No 108142.
20. Hа??rkega°rd G. Statistical planning of fatigue testing: 30 years of development. Proc. Struct. Integr. 2023. Vol. 42. P. 123–130.
21. Macek W., Branco R., Costa J. Effect of parameter correlation on confidence intervals in S–N curves. Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures. 2023. Vol. 46. No 8. P. 2987–3002.
22. Raschety i ispytaniya na prochnost v mashinostroenii. Planirovanie i statisticheskaya obrabotka rezultatov staticheskikh ispytaniy i ispytaniy na ustalost. Metodicheskie ukazaniya. RD 50-705-91 [Strength Calculations and Tests in Mechanical Engineering. Planning and Statistical Processing of Results of Static Tests and Fatigue Tests. Methodological Guidelines. RD 50-705-91]. Moscow. Standards Publishing House. 1992. 167p. (In Russian).