МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТЕРЖНЯ-ПОЛОСЫ, СОЕДИНЕННОГО С ЖЕСТКИМ ОПОРНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ЧЕРЕЗ УПРУГУЮ ПРОСЛОЙКУ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ. 1. МОДЕЛЬ КИРХГОФА–ЛЯВА

В.Н. Паймушин Paimushin; В.М. Шишкин Shishkin

doi:10.32326/1814-9146-2026-88-3-79-96

В.Н. Паймушин Paimushin Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева, Казань
В.М. Шишкин Shishkin Вятский государственный университет, Киров

DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2026-88-3-79-96

Ключевые слова: стержень-полоса, модель Кирхгофа – Лява, опорный элемент, трансверсально-мягкая прослойка, незакрепленный и закрепленный участки, трансформационная модель деформирования, вынужденные колебания, аналитическое решение

Аннотация

Построена трансформационная модель динамического деформирования стержня-полосы, состоящего по длине из односторонне закрепленного и двух незакрепленных (консольных) участков. Предполагается, что стержень на закрепленном участке соединен с абсолютно жестким и неподвижным опорным элементом через упругую прослойку конечной длины, у которой отсутствуют перемещения точек соединения с опорным элементом. Перемещения точек как закрепленного, так и незакрепленных участков стержня описываются классической моделью Кирхгофа – Лява, при использовании которой введение в рассмотрение на закрепленном участке упругой трансверсально-мягкой прослойки позволяет описать процесс прохождения изгибных колебаний от одного незакрепленного участка к другому. Сформулированы условия кинематического сопряжения закрепленного и незакрепленных участков стержня, при учете которых, исходя из вариационного принципа Даламбера – Лагранжа, получены для введенных в рассмотрение участков соответствующие уравнения движения и граничные условия, а также силовые условия сопряжения участков. На закрепленном участке проведено упрощение построенных уравнений путем перехода к известной модели винклеровского основания, с помощью которых найдено точное аналитическое решение задачи о вынужденных гармонических колебаниях стержня рассматриваемого класса. Проведены численные эксперименты по влиянию степени прохождения изгибных колебаний в ненагруженную консоль дюралюминиевого стержня-полосы в зависимости от величины нормального модуля прослойки, ее толщины и длины закрепленного участка при изменении одной из данных величин и фиксированных значениях двух других параметров. Показана возможность получения решения задачи о статическом изгибе стержня при действии постоянной силы на одном из концов на основе стационарного решения уравнений движения при весьма малой частоте циклического деформирования.

Поддерживающие организации

Выполнено за счет средств РНФ (проект № 23-19-00021-П).

Литература

1. Algazin S.D., Selivanov I.A. Natural vibration of a rectangular plate with mixed boundary conditions. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2021. Vol. 62. Iss. 2. P. 238–244. https://doi.org/10.1134/S0021894421020073.
2. Algarray A.F.A., Jun H., Mahdi I.-E.M. Effects of end conditions of cross-ply laminated composite beams on their dimensionless natural frequencies. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2017. Vol. 58. Iss. 6. P. 1108–1114. https://doi.org/10.1134/S0021894417060177.
3. Krylova E.Yu., Papkova I.V., Erofeev N.P., et al. Complex fluctuations of flexible plates under longitudinal loads with account for white noise. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2016. Vol. 57. Iss. 4. P. 714–719. DOI: https://doi.org/10.1134/S0021894416040167.
4. Tu..fekci M., John P., Dear J.P., Salles L. Forced vibration analysis of beams with frictional clamps. Appl. Math. Modell. 2024. Vol. 128. P. 450–469. https://doi.org/10.1016/j.apm.2024.01.031.
5. Banks H.T., Inman D.J. On damping mechanisms in beams. J. Appl. Mech. 1991. Vol. 58. Iss. 3. P. 716–723. https://doi.org /10.1115/1.2897253.
6. Asadi K., Ahmadian H., Jalali H. Micro/macro-slip damping in beams with frictional contact interface. J. Sound Vib. 2012. Vol. 331. Iss. 21. P. 4704–4712. https://doi.org/10.1016/j.jsv. 2012.05.026.
7. Ferri A.A., Bindemann A.C. Damping and vibrations of beams with various types of frictional support conditions. J. Vib. Acoust. 1992. Vol. 114. Iss. 3. P. 289–296. https://doi.org/10.1115/1.2930260.
8. Paimushin V.N., Shishkin V.M. Deformation of thin-walled structural elements having fixed areas of finite dimensions on the boundary front surfaces. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2023. Vol. 64. No 2. P. 308–324. DOI: 10.1134/S0021894423020153.
9. Paimushin V.N., Shishkin V.M. Refined model of dynamic deformation of a flat rod with a finite-length fixed region on an outer surface. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2024. Vol. 65. No 1. P. 161–175. DOI: 10.1134/S0021894424010176.
10. Paimushin V.N., Firsov V.,A., Shishkin V.M., Gazizullin R.K. Transformational deformation models of continuous thin-walled structural elements with support elements of finite sizes: Theoretical foundations, computational, and physical experiments. J. Appl. Math. Mech. 2023. Vol. 104. Iss. 2. Article No e202300214. DOI: 10.1002/zamm.202300214.
11. Paimushin V.N. Plane mechanical problems of straight beams with a deformable fixed section of finite length. Russ. Math. 2022. Vol. 66. Р. 75–81. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X22030082.
12. Reddy J.N. A simple higher-order theory for laminated composite plates. J. Appl. Mech. 1984. Vol. 51. Iss. 4. Р. 745–752. https://doi.org/10.1115/1.3167719.
13. Librescu L. Refined geometrically nonlinear theories of anisotropic laminated shells. Quarterly of Applied Mathematics. 1987. Vol. 45. Iss. 1. P. 1–22. DOI: https://doi.org/10.1090/qam/885164.
14. Schmidt R., Reddy J.N. A refined small strain and moderate rotation theory of elastic anisotropic shells. J. Appl. Mech. 1988. Vol. 55. Iss. 3. Р. 611–617. DOI: 10.1115/1.3125837.
15. Librescu L., Schmidt R. Refined theories of elastic anisotropic shells accounting for small strains and moderate rotations. Int. J. Non. Linear. Mech. 1988. Vol. 23. Iss. 3. Р. 217–229. https://doi.org/10.1016/0020-7462(88)90013-3.
16. Reddy J.N. A general non-linear third-order theory of plates with moderate thickness. Int. J. Non. Linear. Mech. 1990. Vol. 25. Iss. 6. Р. 677–686. https://doi.org/10.1016/0020-7462(90) 90006-U.
17. Librescu L., Schmidt R. Substantiation of a shear-deformable theory of anisotropic composite laminated shells accounting for the interlaminate continuity conditions. Int. J. Eng. Sci. 1991. Vol. 29. Iss. 6. Р. 669–683. https://doi.org/10.1016/0020-7225(91)90097-M.
18. Basar Y., DingY., Schultz R. Refined shear-deformation models for composite laminates with finite rotations. International Journal of Solids and Structures. 1993. Vol. 30. Iss. 19. Р. 2611–2638. https://doi.org/10.1016/0020-7683(93)90102-D.
19. Gruttmann F., Wagner W. A linear quadrilateral shell element with fast stiffness computation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2005. Vol. 194. Iss. 39–41. Р. 4279–4300. https://doi.org/10.1016/j.cma.2004.11.005.
20. Gruttmann F., Wagner W. Structural analysis of composite laminates using a mixed hybrid shell element. Comp. Mech. 2006. Vol. 37. Р. 479–497. https://doi.org/10.1007/s00466-005-0730-1.
21. Schmidt R., Vu T.D. Nonlinear dynamic FE simulation of smart piezolaminated structures based on first- and third-order transverse shear deformation theory. Advanced Materials Research. 2009. Vol. 79-82. Р. 1313–1316. https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMR.79-82.1313.
22. Yankovskii A.P. Critical analysis of the equations of statics in the bending theories of composite plates obtained on the basis of variational principles of elasticity theory. 1. General theories of high order. Mechanics of Composite Materials. 2020. Vol. 56. Iss. 3. P. 271–290. https://doi.org/10.1007/s11029-020-09880-8.
23. Yankovskii A.P. Critical analysis of the equations of statics in the bending theories of composite plates obtained on the basis of variational principles of elasticity theory. 2. Particular low-order theories. Mechanics of Composite Materials. 2020. Vol. 56. Iss. 4. P. 437–454. https://doi.org/10.1007/s11029-020-09895-1.
24. Tseytlin A.I. Ob uchete vnutrennego treniya v normativnykh dokumentakh po dinamicheskomu raschetu sooruzheniy [On accounting for internal friction in regulatory documents on the dynamic calculation of structures]. Stroitelnaya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Analysis of Constructions]. 1981. No 4. P. 33–38 (In Russian).
25. Sorokin E.S. K teorii vnutrennego treniya pri kolebaniyakh uprugikh system [On the Theory of Internal Friction during Vibrations of Elastic Systems]. Moscow. Gosstroyizdat Publ. 1960. 129 p. (In Russian).
26. Vasilenko N.V. Uchet nesovershennoy uprugosti materiala pri mekhanicheskikh kolebaniyakh metodom kompleksnykh moduley [Accounting for imperfect elasticity of a material during mechanical vibrations using the complex modulus method]. Rasseyanie energii pri kolebaniyakh mekhanicheskikh sistem: Materialy X Vsesoyuznogo nauchno-tekhnicheskogo soveshchaniya. Kiev, dek. 1974 [Energy Dissipation during Vibrations of Mechanical Systems: Materials of the X All-Union Scientific and Technical Meeting. Kiev, December 1974]. Kiev. Naukova dumka Publ. 1976. P. 5–12 (In Russian).
27. Rikards R.B., Barkanov E.N. Opredelenie dinamicheskikh kharakteristik vibropogloshchayushchikh pokrytiy metodom konechnykh elementov [Dynamic analysis of damping coatings by the finite element method]. Mekhanika kompozitnykh materialov [Mechanics of Composite Materials]. 1991. No 5. P. 823–830 (In Russian).
28. Khazanov Kh.S. Mekhanicheskie kolebaniya sistem s raspredelennymi parametrami [Mechanical Vibrations of Systems with Distributed Parameters]. Samara. SGAU Publ. 2002. 80 p. (In Russian).