УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ КРУГОВЫХ УПРУГИХ МОМЕНТНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Д.В. Тарлаковский Tarlakovskii; М.Ю. Рязанцева Ryazantseva; А.Ж. Фарманян Farmanyan

doi:10.32326/1814-9146-2026-88-3-67-78

Д.В. Тарлаковский Tarlakovskii НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва
М.Ю. Рязанцева Ryazantseva НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва
А.Ж. Фарманян Farmanyan НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва

DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2026-88-3-67-78

Ключевые слова: изотропная тонкая упругая цилиндрическая оболочка, микрополярная среда (среда Коссера), уравнения движения в силовых и кинематических параметрах, плоская задача

Аннотация

Уравнения в рамках плоской постановки задачи для круговых цилиндрических оболочек получены на основе ранее сформулированной модели динамики тонкой изотропной круговой моментной цилиндрической оболочки постоянной толщины.
При переходе к плоской модели все искомые величины рассматриваются как функции только угловой координаты; их зависимость от пространственной координаты вдоль оси цилиндра исключается, при этом деформационное состояние полагается одинаковым во всех плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра. На поля перемещений и вращений налагаются дополнительные кинематические ограничения, обеспечивающие корректность плоской постановки задачи. Эти ограничения приводят к обращению в нуль ряда кинематических величин, и для выполнения этих тождеств необходимы подобные требования к внешней нагрузке.
Итогом аналитического вывода стала замкнутая система шести дифференциальных уравнений движения, представленная в операторной форме. Система составлена относительно шести неизвестных кинематических параметров – перемещений и углов поворота.
Проведенные исследования демонстрируют, что спектр возможных волновых процессов в моментно-упругой среде при плоском движении изотропной моментной круговой цилиндрической оболочки включает три типа волн: волну расширения, волну сдвига и волну вращения.
Допущение о симметричности векторов перерезывающих усилий позволяет исключить ряд слагаемых в исходных уравнениях движения. В результате система из шести уравнений редуцируется до трех, совпадающих с уравнениями движения оболочки типа Тимошенко, что демонстрирует преемственность рассматриваемой постановки с классической теорией учета поперечного сдвига.
При решении конкретных динамических задач деформирования упругих круговых моментных цилиндрических оболочек в рамках модели плоского движения приведен безразмерный аналог построенной динамической модели.

Поддерживающие организации

Исследование выполнено в рамках государственного задания МГУ имени М.В. Ломоносова, 2021–2028, №ЦИТИС 121033000073-2.

Литература

1. Novatskiy V. Teoriya uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow. Mir Publ. 1975. 872 p. (In Russian).
2. Gerasimov S.I., Erofeev V.I., Soldatov I.N. Volnovye protsessy v sploshnykh sredakh [Wave Processes in Continuous Media]. Sarov. RFYaTs–VNIIEF Publ. 2012. 260 p. (In Russian).
3. Bagdoev A.G., Erofeyev V.I., Shekoyan A.V. Wave Dynamics of Generalized Continua. Berlin. Heidelberg. Springer. 2016. 274 p.
4. Palmov W.W., Altenbach H. Uber eine Cosseratsche Theorie fur elastische Platen. Technische Mechanik. 1982. Vol. 3. No 3. P. 5–9.
5. Altenbach H., Eremeyev V. On the linear theory of micropolar plates. J. Appl. Math. Mech. 2009. Vol. 89. No 4. P. 242–256. DOI: 10.1002/zamm.200800207.
6. Hoffman O. On the bending of thin elastic plates in the presence of moment stresses. Journal of Applied Mechanics. 1964. Vol. 31. No 4. P. 706–707.
7. Ambartsumyan S.A. Temperaturnaya zadacha mikropolyarnoy plastink [The temperature problem of a micropolarplate]. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskiy region. Seriya: Estestvennye nauki [Bulletin of Higher Education Institutes North Caucasus Region. Natural Sciences]. 2000. No 3. P. 17–20 (In Russian).
8. Sargsyan S.H. On some interior and boundary effects in thin plates based on the asymmetric theory of elasticity. Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. 2004. Vol. 16. Р. 201–210. DOI: 10.1007/978-3-540-39905-6_24.
9. Sarkisyan S.O. Obshchie modeli mikropolyarnykh uprugikh tonkikh plastin [General models of micropolar elastic thin plates]. Vestnik Permskogo natsionalnogo issledovatelskogo politekhnicheskogo universiteta. Mekhanika [PNRPU Mechanics Bulletin]. 2008. No 16. P. 111–120 (In Russian).
10. Green A.E., Naghdi P.M. The linear elastic cosserat surface and shell theory. Int. J. Solids Struct. 1968. Vol. 4. Iss. 6. P. 585–592.
11. Babich D.V. Osnovnye uravneniya dvizheniya obolochki s uchetom nesimmetrichnosti tenzora napryazheniy [Basic equations of motion of the shell taking intoaccount the asymmetry of the stress tensor]. Prikladnaya mekhanika [Applied Mechanics]. 1966. Vol. 2. Iss. 12. P. 41–48 (In Russian).
12. Vanin G.A. Momentnaya mekhanika tonkikh obolochek [Moment mechanics of thin shells]. Izvestiya. RAN. Mekhanika tverdogo tela [Mechanics of Solids]. 2004. No 4. P. 116–128 (In Russian).
13. Birsan M. The solution of Saint-Venant's problem in the theory of Cosserat shells. J. Elast. 2004. Vol. 74. P. 185–214.
14. Birsan M. Several results in the dynamic theory of thermoelastic Cosserat shells with voids. Mech. Res. Commun. 2006. Vol. 33. No 2. P. 157–176. DOI: 10.1016/j.mechrescom. 2005.08.008.
15. Birsan M. Thermal stresses in cylindrical Cosserat elastic shells. Eur. J. Mech. A Solids. 2009. Vol. 28. Iss.1. P. 94–101. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2008.03.001.
16. Ambartsumyan S.A. Zadacha nesimmetrichnoy termouprugosti vesma pologoy obolochki [The problem of asymmetric thermoelasticity of a very shallow shell]. Izvestiya Natsionalnoy Akademii nauk Respubliki Armeniya. Mekhanika [Mechanics – Proceedings of National Academy of Sciences of Armenia]. 2002. No 3. P. 20–33 (In Russian).
17. Birsan M. On the theory of loaded general cylindrical Cosserat elastic shells. Int. J. Solids Struct. 2007. Vol. 44. No 22-23. P. 7399–7419. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2007.04.016.
18. Sargsyan S.H. Mathematical model of micropolar termo-elasticity of thin shells. J. Therm. Stresses. 2013. Vol. 36. No 11. P. 1200–1216. DOI: 10.1080/01495739.2013.819265.
19. Sarkisyan S.O. Obshchaya dinamicheskaya teoriya mikropolyarnykh uprugikh tonkikh obolochek [The general dynamic theory of micropolar elastic thin shells]. Doklady Akademii nauk [Doklady Physics]. 2011. Vol. 56. No 1. P. 39–42 (In Russian).
20. Quoc Chien Mai, Ryazantseva M.Yu., Tarlakovskii D.V. Generalized linear model of dynamics of elastic moment shells. Deformation and destruction of materials and structures under quasistatic and impulse loading. Part of the Book Series: Advanced Structured Materials. Vol. 186. Springer Nature Switzerland AG. 2020. P. 159–172.
21. Tarlakovskii D.V., Farmanyan A.Zh. Nachalno-kraevye zadachi dlya momentnykh uprugikh krugovykh tsilindricheskikh obolochek [Initial-boundary problems for couple stress elastic circular cylindrical shells]. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1: Matematika. Mekhanika [Moscow University Mechanics Bulletin]. 2025. Vol. 80. No 4. P. 143–151 (In Russian).
22. Ryazantseva M.Yu., Tarlakovskii D.V., Farmanyan A.Jh. Equations of axisymmetrical and plane motion of moment elastic circular cylindrical shells. AIP Conference Proceeding. 2025. Vol. 3177. Iss. 1. P. 136–146. https://doi.org/10.1063/5.0295608.
23. Erofeev V.I. Volnovye protsessy v tverdykh telakh s mikrostrukturoy [Wave Processes in Solids with Microstructure]. Moscow. MGU Publ. 1999. 328 p. (In Russian).
24. Gorshkov A.G., Medvedskiy A.L., Rabinskiy L.N., Tarlakovskii D.V. Volny v sploshnykh sredakh [Waves in Continuous Media]. Moscow. Fizmatlit Publ. 2004. 472 p. (In Russian).