ПРИКЛАДНАЯ МОДЕЛЬ ОСЕВОГО СЖАТИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ПОРИСТОГО ЦИЛИНДРА ПРИ НАЛИЧИИ ТОРЦЕВОГО ТРЕНИЯ

А.О. Ватульян Vatulyan; И.В. Гусаков Gusakov; С.А. Нестеров Nesterov; М.Н. Узлов Uzlov

doi:10.32326/1814-9146-2026-88-3-38-49

А.О. Ватульян Vatulyan Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону
И.В. Гусаков Gusakov Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону
С.А. Нестеров Nesterov Южный математический институт – филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ
М.Н. Узлов Uzlov Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону

DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2026-88-3-38-49

Ключевые слова: микродилатационная теория, трансверсально-изотропный пористый материал, цилиндр, осевое сжатие, трение, метод Канторовича, краевой эффект, кортикальная костная ткань

Аннотация

В рамках линейной микродилатационной модели Ковина – Нунзиато рассматривается контактная задача об осевом сжатии конечного трансверсально-изотропного пористого цилиндра, помещенного между двумя жесткими плитами, смещающимися навстречу друг другу. Для учета влияния трения на торцах вводится эффективный интегральный параметр, определяющий отношение интегральной характеристики сил контактного трения к нормальной силе воздействия. С использованием физически обоснованных предположений (линейный характер радиального перемещения в зависимости от радиальной координаты, отсутствие зависимости осевого перемещения и функции микродилатации от радиуса) и метода Канторовича первого порядка, базирующегося на вариационном принципе Лагранжа, трехмерная краевая задача для пористо-упругого цилиндра сводится к системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений. Для постоянных характеристик материала получено аналитическое решение в виде суммы стержневого решения, описывающего основное напряженно-деформированное состояние в центральной зоне цилиндра, и экспоненциально затухающих погранслойных слагаемых, обусловленных совместным влиянием микродилатационных эффектов и сил контактного трения. На примере кортикальной костной ткани выполнен численный параметрический анализ влияния трения и пористости. Установлено, что наличие торцевого трения препятствует поперечному расширению, вызывая «бочкообразность» (выпучивание боковой поверхности), и приводит к концентрации сжимающих радиальных и тангенциальных напряжений у торцов. Показано, что трение усиливает объемное сжатие в приторцевой области, что через параметры связанности стимулирует микродилатацию. Выявлено, что наличие пористости повышает общую податливость материала. Предложенные соотношения позволяют интерпретировать результаты лабораторных испытаний на сжатие, корректировать экспериментальные данные и решать обратные задачи по идентификации интегральных характеристик контактного взаимодействия и пористых характеристик анизотропных биоматериалов.

Поддерживающие организации

Выполнено за счет гранта РНФ №22-11-00265-П, https://rscf.ru/project/22-11-00265/, в Южном федеральном университете.

Литература

1. Lekhnitsky S.G. Teoriya uprugosti anizotropnogo tela [Theory of Elasticity of Anisotropic Bodies]. Moscow. Nauka Publ. 1977. 416 p. (In Russian).
2. Ding H., Chen W., Zhang L. Elasticity of Transversely Isotropic Materials. Part of the book series: Solid Mechanics and its Applications. Vol. 126. Springer. 2006. 435 p. https://doi.org/10.1007/1-4020-4034-2.
3. Lurie A.I. Teoriya uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow. Nauka Publ. 1970. 940 p. (In Russian).
4. Cowin S.C., Nunziato J.W. Linear elastic materials with voids. J. Elasticity 1983. Vol. 13. P. 125–147. DOI: 10.1007/BF00041230.
5. Ghiba I.-D. On the deformation of transversely isotropic porous elastic circular cylinder. Arch. Mech. 2009. Vol. 61. Iss. 5. P. 407–421. DOI: 10.13140/2.1.1372.9924.
6. Scalia A., Sumbatyan M.A. Contact problem for porous elastic half-plane. J. Elast. 2000. Vol. 60. Iss. 2. P. 91–102. DOI: 10.1023/A:1010880823544.
7. Zelentsov V.B., Zagrebneva A.D., Lapina P.A., Aizikovich S.M., Vang Yun-Che. Otnositelnyy obem por pri identirovanii poristykh materialov [Relative pore volume under indentation of porous materials]. Problemy prochnosti i plastichnosti [Problems of Strength and Plasticity]. 2021. Vol. 83. No 4. P. 462–470 (In Russian).
8. Chebakov M.I., Kolosova E.M. Kontaktnaya zadacha dlya porouprugogo tsilindra konechnykh razmerov na vinklerovskom osnovanii [Contact problem for a poroelastic cylinder of finite dimensions on a winkler foundation]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Severo-Kavkazskiy region. Seriya: Yestestvennyye nauki [Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science]. 2025. No 3(227). P. 44–54 (In Russian).
9. Nesterov S.A. O deformirovanii sostavnykh uprugikh tel s pustymi porami [On the deformation of composite elastic bodies with empty pores]. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva [Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation]. 2025. Vol. 22. No 1. P. 68–79 (In Russian).
10. Chau K.T. Young's modulus interpreted from compression tests with end friction. J. Eng. Mech. 1997. Vol. 123. No 1. P. 1–7. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1997)123:1(1).
11. Williams J.G., Gamonpilas C. Using the simple compression test to determine Young's modulus, Poisson's ratio and the Coulomb friction coefficient. Int. J. Solids Struct. 2008. Vol. 45. Iss. 16. P. 4448–4459. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2008.03.023.
12. Filon L.N.G. On the elastic equilibrium of circular cylinders under certain practical systems of load. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. 1902. Vol. 198. P. 147–233. DOI: 10.1098/rsta.1902.0004.
13. Dzhanelidze G.Yu., Prokopov V.K. Metod odnorodnykh resheniy v matematicheskoy teorii uprugosti [The method of homogeneous solutions in mathematical theory of elasticity]. Trudy IV Vsesoyuznogo matematicheskogo s'ezda [Proceedings of the 4th All-Union Mathematical Congress]. Leningrad. Nauka Publ. 1964. Vol. 2. P. 551–557 (In Russian).
14. Wei X.X., Chau K.T. Finite and transversely isotropic elastic cylinders under compression with end constraint induced by friction. Int. J. Solids Struct. 2009. Vol. 46. Iss. 9. P. 1953–1965. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2009.01.007.
15. Vatulyan A.O., Uzlov M.N. O prikladnoy teorii szhatiya tsilindra [On the applied theory of compression of an elastic cylinder]. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika [Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics]. 2026. Vol. 26. Iss. 1. P. 46–55 (In Russian).
16. Vatulyan A.O., Nesterov S.A. Prikladnaya model rastyazheniya poristogo vytyanutogo prizmaticheskogo obraztsa pryamougolnogo secheniya [Applied model of tension of a porous elongated prismatic rectangular cross-section sample]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 2026. Vol. 90. Iss. 1. P. 134–150 (In Russian).
17. Vatulyan A.O., Yurov V.O., Gusakov I.V. O prikladnoy teorii rastyazheniya pryamougolnika [On the applied theory of rectangle stretching]. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela [Mechanics of Solids]. 2025. No 6. P. 114–127 (In Russian)
18. Vatulyan A.O., Gusakov I.V. O vliyanii treniya na szhatie vytyanutykh prizmaticheskikh obraztsov [On the influence of friction in compression of elongated prism specimens]. Rossiyskiy zhurnal biomekhaniki [Russian Journal of Biomechanics]. 2026. Vol. 30. No 1. P. 38–47 (In Russian).
19. Kantorovich L.V., Krylov V.I. Priblizhennye metody vysshego analiza [Approximate Methods of Higher Analysis]. Leningrad. Fizmatlit Publ. 1962. 706 p. (In Russian).
20. Rho J.Y., Ashman R.B., Turner C.H. Young's modulus of trabecular and cortical bone material: ultrasonic and microtensile measurements. J. Biomech. 1993. Vol. 26. Iss. 2. P. 111–119. DOI: 10.1016/0021-9290(93)90042-d.
21. Katz J.L., Meunier A. The elastic anisotropy of bone. J. Biomech. Eng. 1987. Vol. 20. Iss. 11–12. P. 1063–1070. DOI: 10.1016/0021-9290(87)90024-8.
22. Don X.B., Guo X.E. The dependence of transversally isotropic elasticity of human femoral cortical bone on porosity. J. Biomech. 2004. Vol. 37. Iss. 8. P. 1281–1237. https://doi.org/10.1016/j.jbiomech.2003.12.011.
23. Bishay P.L., Repka M., Sladek V., Sladek J. On the characterization of porosity-related parameters in micro-dilatation theory. Acta Mech. 2017. Vol. 228. P. 1631–1644. DOI: 10.1007/s00707-016-1789-9.