ВНЕДРЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ШТАМПА С ПЛОСКОЙ ПОДОШВОЙ И ОКРУГЛЫМ КРАЕМ В НЕОДНОРОДНОЕ ПО ГЛУБИНЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО

Л.И. Кренев Krenev; С.М. Айзикович Aizikovich; Д.А. Кренев Krenev

doi:10.32326/1814-9146-2026-88-3-16-25

Л.И. Кренев Krenev Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону
С.М. Айзикович Aizikovich Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону
Д.А. Кренев Krenev Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону

DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2026-88-3-16-25

Ключевые слова: интегральные уравнения, неоднородное полупространство, слой, край штампа, подошва кругового штампа

Аннотация

Рассмотрена осесимметричная статическая задача о внедрении гладкого цилиндрического штампа с плоской подошвой в неоднородный слой, сцепленный с упругим полупространством. Край штампа предполагается закругленным. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона слоя изменяются по его глубине по произвольно заданным законам. Исследуется влияние закругления края плоской подошвы кругового штампа на концентрацию напряжений на его крае.
Задача исследуется аналитически. Применяется метод интегральных преобразований. Полученная в результате система обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами решается численно с использованием специально разработанного алгоритма. Далее решение этого парного интегрального уравнения ищется в приближенном виде с помощью разработанного авторами специального асимптотического метода.
С помощью специальных преобразований парное интегральное уравнение приводится к более простому виду. Затем ядро аппроксимируется дробно-рациональным выражением. Решение системы дифференциальных уравнений, полученной с помощью операционного исчисления, представляется суммой общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнений на отдельных участках области определения с неизвестными комплексными константами. Обратным преобразованием Фурье находится выражение для трансформанты распределения контактных давлений, затем с помощью обратного преобразования Ханкеля находится распределение контактных давлений. Подстановкой найденного решения в исходное уравнение (в упрощенном виде) строится система линейных уравнений для определения неизвестных констант.
На основе построенного решения выполнены расчеты распределения нормальных контактных напряжений под штампом. Рассмотрены случаи различной жесткости приповерхностного слоя, а также проанализировано, как изменение радиуса закругления края штампа влияет на распределение контактного давления.

Поддерживающие организации

Выполнено при поддержке РНФ (грант 22-19-00732-П)

Литература

1. Shtaerman I.Ya. Kontaktnaya zadacha teorii uprugosti [The Contact Problem of the Theory of Elasticity]. Moscow. Leningrad. Gostekhizdat Publ. 1949. 272 p. (In Russian).
2. Abramyan B.L., Aleksandrov V.M., Amenadze Yu.A. et al. Razvitie teorii kontaktnykh zadach v SSSR [The Development of the Theory of Contacttasksin the USSR]. Moscow. Nauka Publ. 1976. 493 p. (In Russian).
3. Ayzikovich S.M., Aleksandrov V.M., Argatov I.I. et al. Mekhanika kontaktnykh vzaimodeystviy [Mechanics of Contactinteractions]. Moscow. Fizmatlit Publ. 2001. 672 p. (In Russian).
4. Johnson K.L. Contact Mechanics. Cambridge. Cambridge University Press. 1987. 452 p.
5. Co..mez I... Analysis of stress and deformation of an exponentially graded viscoelastic coated half plane under indentation by a rigid flat punch indenter tip. Mechanics of Time-Dependent Materials. 2024. Vol. 28. P. 1271–1289. DOI: 10.1007/s11043-024-09682-8.
6. Brutti C. A theoretical model for elastic-perfectly plastic flat cylindrical punch indentation. Mechanics of Materials. 2021. Vol. 155. Article No 103770. DOI: 10.1016/j.mechmat.2021.103770.
7. Wang G.F., Niu X.R. Nanoindentation of soft solids by a flat punch. Acta Mech. Sin. 2015. Vol. 31. No 4. P. 531–535.
8. Ma Z., Liao H., Dang F. Effect of intermediate principal stress on flat-ended punch problems. Arch. Appl. Mech. 2014. Vol. 84. No 2. P. 277–289. DOI: 10.1007/s00419-013-0799-5.
9. Chen Y.Z., Lin X.Y., Wang Z.X. Singular stress analysis in flat punch problem of elastic half-plane. Int. J. Appl. Mech. 2010. Vol. 2. No 1. P. 69–85. DOI: 10.1142/S1758825110000457.
10. Pau M., Leban B., Baldi A. Experimental analysis of contact for the indentation of a flat rounded punch. Int. J. Solids Struct. 2006. Vol. 43. No 25-26. P. 7959–7965. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2006.03.013.
11. Jaffar M.J. Frictionless contact between an elastic layer on a rigid base and a circular flat-ended punch with rounded edge or a conical punch with rounded tip. Int. J. Mech. Sci. 2002. Vol. 44. No 3. P. 545–560. DOI: 10.1016/S0020-7403(01)00104-7.
12. Borodachev N.M. Impression of a punch with a flat square base into an elastic half-space. Int. J. Appl. Mech. 1999. Vol. 35. Iss. 10. P. 989–994.
13. Barber J.R. Indentation of an elastic half-space by a cooled flat punch. Q. J. Mech. Appl. Math. 1982. Vol. 35. Iss. 1. P. 141–154. DOI:10.1093/qjmam/35.1.141.
14. Smith S.F. On a flat punch indenting an elastic layer in plane strain. Q. J. Math. 1964. Vol. 15. Iss. 1. P. 223–237. DOI: 10.1093/qmath/15.1.223.
15. Aizikovich S.M., Aleksandrov V.M. Osesimmetrichnaya zadacha o vdavlivanii kruglogo shtampa v uprugoe, neodnorodnoe po glubine poluprostranstvo [Axisymmetric problem of indentation of a circular punch into an elastic half-space inhomogeneous in depth]. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Mekhanika tverdogo tela. 1984. No 2. P. 73–82 (In Russian).
16. Vasiliev A.S., Sevostianov I.B., Aizikovich S.M., Jeng Y.-R. Torsion of a punch attached to transversely isotropic half-space with functionally graded coating. Int. J. Eng. Sci. 2012. Vol. 61. Р. 24–35. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2012.06.006.
17. Vasiliev A.S., Volkov S.S., Aizikovich S.M., Jeng Y.-R. Axisymmetric contact problems of the theory of elasticity for inhomogeneous layers. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2014. Vol. 94. Iss. 9. P. 705–712. DOI: 10.1002/zamm.201300067.
18. Vasiliev A.S., Volkov S.S., Sadyrin E.V., Aizikovich S.M. Simplified analytical solution of the contact problem on indentation of a coated half-space by a conical punch. Mathematics. 2020. Vol. 8. Iss. 6. P. 983-1 – 983-14. DOI: 10.3390/math8060983.
19. Aizikovich S.M., Krenev L.I., Trubchik I.S., Alexandrov V.M., Kalker J.J. Analytical solution of the spherical indentation problem for a half-space with gradients with the depth elastic properties. Int. J. Solids Struct. 2002. Vol. 39. No 10. P. 2745–2772. DOI: 10.1016/S0020-7683(02)00124-5.
20. Krenev L.I., Aizikovich S.M., Tokovyy Y.V., Wang Y.C. Axisymmetric problem on the indentation of a hot circular punch into an arbitrarily nonhomogeneous half-space. Int. J. Solids Struct. 2015. Vol. 59. P. 18–28. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2014.12.017.