Рассмотрена осесимметричная статическая задача о внедрении гладкого цилиндрического штампа с плоской подошвой в неоднородный слой, сцепленный с упругим полупространством. Край штампа предполагается закругленным. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона слоя изменяются по его глубине по произвольно заданным законам. Исследуется влияние закругления края плоской подошвы кругового штампа на концентрацию напряжений на его крае. Задача исследуется аналитически. Применяется метод интегральных преобразований. Полученная в результате система обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами решается численно с использованием специально разработанного алгоритма. Далее решение этого парного интегрального уравнения ищется в приближенном виде с помощью разработанного авторами специального асимптотического метода. С помощью специальных преобразований парное интегральное уравнение приводится к более простому виду. Затем ядро аппроксимируется дробно-рациональным выражением. Решение системы дифференциальных уравнений, полученной с помощью операционного исчисления, представляется суммой общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнений на отдельных участках области определения с неизвестными комплексными константами. Обратным преобразованием Фурье находится выражение для трансформанты распределения контактных давлений, затем с помощью обратного преобразования Ханкеля находится распределение контактных давлений. Подстановкой найденного решения в исходное уравнение (в упрощенном виде) строится система линейных уравнений для определения неизвестных констант. На основе построенного решения выполнены расчеты распределения нормальных контактных напряжений под штампом. Рассмотрены случаи различной жесткости приповерхностного слоя, а также проанализировано, как изменение радиуса закругления края штампа влияет на распределение контактного давления. С помощью специальных преобразований парное интегральное уравнение приводится к более простому виду. Затем ядро аппроксимируется дробно-рациональным выражением. Решение системы дифференциальных уравнений, полученной с помощью операционного исчисления, представляется суммой общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнений на отдельных участках области определения с неизвестными комплексными константами. Обратным преобразованием Фурье находится выражение для трансформанты распределения контактных давлений, затем с помощью обратного преобразования Ханкеля находится распределение контактных давлений. Подстановкой найденного решения в исходное уравнение (в упрощенном виде) строится система линейных уравнений для определения неизвестных констант. На основе построенного решения выполнены расчеты распределения нормальных контактных напряжений под штампом. Рассмотрены случаи различной жесткости приповерхностного слоя, а также проанализировано, как изменение радиуса закругления края штампа влияет на распределение контактного давления.

The paper considers an axisymmetric static problem of the embedding of a smooth cylindrical die with a flat sole into a heterogeneous layer bonded to an elastic half-space. The edge of the die is assumed to be rounded. The Young's modulus and Poisson's ratio of the layer vary with its depth according to arbitrary prescribed laws. The paper analyzes the effect of rounding the edge of the flat sole of a circular die on the stress concentration at its edge. The problem is solved analytically. The method of integral transformations is used.The resulting system of ordinary differential equations with variable coefficients is solved numerically using a specially developed algorithm. Next, the solution of this pair integral equation is obtained in an approximate form using a special asymptotic method developed by the authors. Using special transformations, the pair integral equation is reduced to a simpler form. Then, the kernel is approximated by a fractional-rational expression.The solution of the system of differential equations obtained using operational calculus is represented by the sum of the general solution of the homogeneous and the particular inhomogeneous on separate sections of the domain of definition with unknown complex constants. The inverse Fourier transform is found expression for the transformant of the distribution of contact pressures, then using the inverse Hankel transform is found distribution of contact pressures. Substituting the found solution into the original equation (in a simplified form) is constructed a system of linear equations to determine the unknown constants. Based on the constructed solution, performed calculations of the distribution of normal contact stresses under the stamp.Thecases of differentstiffness of the near-surfacelayer are considered,and it is analyzedhow the change in the radius of curvature of the stampedgeaffects the distribution of contactpressure.