МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ТРЕХФАЗНОЙ ДЕФОРМИРУЕМОЙ ПОРОУПРУГОЙ СРЕДЫ

А.Н. Петров Petrov

doi:10.32326/1814-9146-2026-88-2-132-142

А.Н. Петров Petrov Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород

DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2026-88-2-132-142

Ключевые слова: пороупругость, трехфазная среда, закон Дарси, эффективные напряжения, гомогенизация, многофазный континуум, связанные задачи

Аннотация

Представлена математическая модель трехфазной пороупругой среды, состоящей из упругого деформируемого скелета и двух текучих наполнителей. На основе метода гомогенизации и подхода с многофазными континуумами получена замкнутая система уравнений, включающая в себя закон Гука для скелета с учетом принципа эффективных напряжений, обобщенный закон Дарси для фильтрации каждой из текучих фаз, уравнения сохранения массы, преобразованные с учетом сжимаемости фаз и наличия источников/стоков, а также уравнение импульса для трехфазной системы в целом. Модель учитывает капиллярные эффекты (давление вытеснения, относительные фазовые проницаемости) и осредненное поровое давление как взвешенную по насыщенности величину.
Проведен сравнительный анализ полученных уравнений с известными решениями других авторов. Показано, что отличие заключается в выражениях для отдельных коэффициентов, а именно в присутствии множителя в виде пористости в слагаемых, возникающих при дифференцировании уравнений сохранения масс. Установлено, что в предельных случаях предложенная модель переходит в известные корректные постановки. Численные расчеты, выполненные для широкого диапазона значений насыщенности, демонстрируют, что значения коэффициентов, полученные представленными формулами, систематически превышают соответствующие значения, рассчитанные по известным формулам, более чем в 4 раза. Наибольшие различия наблюдаются в условиях, близких к полному насыщению порового пространства жидкостью.
Полученные результаты указывают на необходимость учета предложенных поправок при моделировании динамических процессов в частично насыщенных пороупругих средах, особенно в задачах, связанных с быстропротекающими процессами и высокими значениями насыщенности. Разработанная модель может найти применение в геомеханике (прогноз оседания земной поверхности, устойчивость скважин), подземной гидродинамике (закачка углекислого газа, разработка нефтегазовых месторождений) и биомеханике (моделирование тканей, насыщенных жидкостями).

Поддерживающие организации

Выполнено при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (проект №FSWR-2026-0019).

Литература

1. Biot M.A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid. J. Appl. Phys. 1955. Vol. 26. No 2. P. 182–185. https://doi.org/10.1063/1.1721956.

2. Biot M.A. General theory of three dimensional consolidation. J. Appl. Phys. 1941. Vol. 12. No 2. P. 155–161. DOI: 10.1063/1.1712886.

3. Chung C.Y., Mansour J.M. Application of ANSYS to the stress relaxation of articular cartilage in unconfined compression. J. Chin. Inst. Eng. 2014. Vol. 37. No 3. P. 376–384. DOI: 10.1080/02533839.2013.78179.

4. Polzer S., Bursa J. Poroelastic model of intraluminal thrombus in FEA of aortic aneurysm. 6th World Congress of Biomechanics (WCB 2010). Singapore, 1–6 Aug. 2010. Berlin. Heidelberg. Springer. 2010. P. 763–767.

5. Igumnov L.A., Ipatov A.A., Petrov A.N., Litvinchuk S.Y., Pfaff A., Eremeyev V.A. A comparison of boundary element method and finite element method dynamic solutions for poroelastic column. In: Higher Gradient Materials and Related Generalized Continua. Cham. Springer International Publishing. 2019. P. 121–134.

6. Chou D., Li Y.D., Mustansar Z., Chung C.Y. Using a poroelastodynamic model to investigate the dynamic behaviour of articular cartilage. Computer Methods and Programs in Biomedicine. 2023. Vol. 233. Article No 107481. DOI: 10.1016/j.cmpb.2023.107481.

7. Yu W., Wu X., Cen H., Guo Y., Li C., Wang Y., Qin Y., Chen, W. Study on the biomechanical responses of the loaded bone in macroscale and mesoscale by multiscale poroelastic FE analysis. Biomed. Eng. Online. 2019. Vol. 18. No 1. Article No 122. DOI: 10.1186/s12938-019-0741-3.

8. Jin L. On a Saturated Poromechanical Framework and its Relation to Abaqus Soil Mechanics and Biot Poroelasticity Frameworks. 2023. DOI: 10.48550/arXiv.2304.02148.

9. Brutsaert W. The propagation of elastic waves in unconsolidated unsaturated granular medium. Journal of Geophysical Research. 1964. Vol. 69. No 2. P. 234–257.

10. Berryman J.G., Thigpen L. Nonlinear and semilinear dynamic poroelasticity with microstructure. Journal of Geophysical Research. 1985. Vol. 33. No 2. P. 243–257.

11. Lo Wei-Cheng, Sposito G., Majer E. Immiscible two-phase fluid flows in deformable porous media. Advanced in Water Rescources. 2002. Vol. 25. P.1105–1117. DOI:10.1016/S0309-1708(02)00050-7.

12. Lewis R.W., Schrefler B.A. The Finite Element Method in the Deformation and Consolidation of Porous Media. London. Wiley. 1987. 344 p.

13. Zienkiewicz O., Chan A., Pastor M., Schrefler B., Shiomi T. Computational Geomechanics with Special Reference to Earthquake Engineering. New York. John Wiley & Sons. 1999. 398 p.

14. Shwetank K., Deb D., Pramanik R. Coupled meshfree (SPH) and grid based (FDM) procedures for modeling fluid flow through deformable porous media. International Journal

of Rock Mechanics and Mining Sciences. 2023. Vol. 170. Article No 105494. https://doi.org/10.1016/j.ijrmms.2023.105494.

15. Sang Q.Y., Xiong Y.L., Zheng R.Y., Bao X.H., Ye G.L., Zhang F. An implicit coupled MPM formulation for static and dynamic simulation of saturated soils based on a hybrid method. Comput. Mech. 2025. Vol. 75. No (3). P. 1033–1060.

16. Wang W., Wen X., Zhang B., Zhang Y., Wang W. Adaptive finite difference forward modeling of two-phase media based on the Remez iterative algorithm for solving differential coefficients. Chin. J. Geophys. 2020. Vol. 63. Iss. 6. P. 2400–2414. https://doi.org/10.6038/cjg2020N0068.

17. Maghoul P. Solutions fondamentales en Ge?o-Poro-Me?canique multiphasique pour l'analyse des effets de site sismiques. D. Sci. Dissertation. Paris. Universite? Paris-Est. 2010. 422 p.

18. Benallal A., Botta A.S., Venturini W.S. Consolidation of elastic-plastic saturated porous media by the boundary element method. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2008. Vol. 197. Iss. 51-52. P. 4626–4644. DOI: 10.1016/j.cma.2008.06.003.

19. Prochazka P.P. Effect of elevated temperature on concrete structures by discontinuous boundary element method. International Journal of Computational Methods. 2021. Vol. 18. No 09. Article No 2150034. DOI: 10.1142/S0219876221500341.

20. Li P., Schanz M. Time domain boundary element formulation for partially saturated poroelasticity. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2013. Vol. 37. Iss. 11. P. 1483–1498. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2013.08.002.