ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ГЕМИТРОПНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ ПОЛУИНВАРИАНТЫ СИСТЕМЫ ДВУХ АСИММЕТРИЧНЫХ ТЕНЗОРОВ ВТОРОГО РАНГА

Е.В. Мурашкин Murashkin; Ю.Н. Радаев Radayev

doi:10.32326/1814-9146-2026-88-2-34-44

Е.В. Мурашкин Murashkin Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва
Ю.Н. Радаев Radayev Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва

DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2026-88-2-34-44

Ключевые слова: псевдотензор, микрополярный гемитропный континуум, полуинвариант, определяющий псевдоскаляр, нелинейный микрополярный континуум, кубическая энергетическая форма

Аннотация

Построены абсолютные инварианты и полуинварианты для системы, состоящей из одного тензора и одного псевдотензора второго ранга в трехмерном пространстве. Приводятся определения индивидуальных и совместных инвариантов и полуинвариантов. Обсуждаются понятия полного неприводимого набора инвариантов и полуинвариантов. Представлены несколько систем индивидуальных инвариантов и формулы Ньютона, связывающие их между собой. Обсуждаются понятия полных, неполных и неприводимых наборов инвариантов. Отмечается важность теоремы Гамильтона – Келли для минимизации наборов инвариантов с помощью целых рациональных сизигий. Обсуждается понятие псевдотензора. Вводится понятие псевдоскалярной единицы и скалярной функции, вычисляющей алгебраический вес псевдотензора. Предлагается алгоритм построения полного набора инвариантов заданного целого порядка и его последующая ренумерация. Получен полный неприводимый набор индивидуальных и совместных 9 квадратичных и 28 кубических целых рациональных алгебраических инвариантов и полуинвариантов для системы из одного тензора и одного псевдотензора второго ранга. Вычислены целые алгебраические веса полученных псевдоинвариантов. Отдельно выделены полуинварианты, чувствительные к зеркальным отражениям и инверсиям трехмерного объемлющего евклидова прстранства, таких полуинваринатов оказывается всего 18, среди них 1 линейный, 3 квадратичных и 14 кубических. Указанный выше набор 37 полуинвариантов затем используется для построения кубической энергетической формы, характеризующейся 37 определяющими скалярами/псевдоскалярами (9 линейными и 28 квадратичными) и соответсвующей математической модели нелинейного гемитропного микрополярного упругого тела. Получены определяющие уравнения нелинейного гемитропного микрополярного тела, включающие в себя квадратичные поправки.

Литература

1. Gurevich G.B. Osnovy teorii algebraicheskikh invariantov [Foundations of the Theory of Algebraic Invariants]. Moscow. Leningrad. Gosudarstvennoe izdatelstvo tekhniko-teoreti-cheskoy literatury. 1948. 408 p. (In Russian).

2. Spencer A.J.M. Theory of Invariants. New York. London. Academic Press. 1977. 158 p.

3. Sushkevich A. K. Osnovy vysshey algebry [Fundamentals of Higher Algebra]. Moscow. Leningrad. ONTI. GRTTL Publ. 1937. 468 p. (In Russian).

4. Spencer A.J.M., Rivlin R.S. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: Part I. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1962. Vol. 9. P. 45–63. DOI: 10.1007/bf00253332.

5. Spencer A.J.M. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: Part II. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1965. Vol. 18. No 1. P. 51–82. DOI: 10.1007/bf00253982.

6. Zhilin P.A. Ratsionalnaya mekhanika sploshnykh sred [Rational Mechanics of Continua]. Saint Petersburg. Politekhnic unstitute Publ. 2012. 584 p. (In Russian).

7. Khaniki H.B., Ghayesh M.H., Chin R. et al. A review on the nonlinear dynamics of hyperelastic structures. Nonlinear Dyn. 2022. Vol. 110. P. 963–994. DOI: 10.1007/s11071-022-07700-3.

8. Eremeyev V.A., Lebedev L.P., Altenbach H. Foundations of Micropolar Mechanics. Heidelberg. Springer. 2012. 203 p.

9. Soldatos K.P. New trends in couple-stress hyperelasticity. Math. Mech. Solids. 2023. Vol. 30. Iss. 2. P. 174–201. DOI: 10.1177/10812865231177673.

10. Cosserat E., Cosserat F. The?orie des corps de?formables. Paris. A. Hermann et fils. 1909. 226 p.

11. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Berlin. Springer. 1986. 386 p.

12. Gu..nther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratschen Kontinuums. Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft. 1958. Vol. 10. P. 195–213.

13. Kessel S. Lineare Elastizita..tstheorie des anisotropen Cosserat-Kontinuums. Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft. 1964. Vol. 16. P. 1–22.

14. Neuber H. U..ber Probleme der Spannungs konzentration im Cosserat-K?rper. Acta Mech. 1966. Vol. 2. P. 48–69. DOI: 10.1007/bf01176729.

15. Neuber H. On the effect of stress concentration in Cosserat continua. Mechanics of Generalized Continua. Berlin. Heidelberg. Springer. 1968. P. 109–113.

16. Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Berlin. Springer. 1972. 483 p.

17. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford. New York. Pergamon Press. 1986. 383 p.

18. Radaev Yu.N. Pravilo mnozhiteley v kovariantnykh formulirovkakh mikropolyarnykh teoriy mekhaniki kontinuuma [Multiplier rule in covariant formulations of micropolar theories of continuum mechanics]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriya. Fiziko-matematicheskie nauki [Journal of Samara State Technical University. Ser. Physical and Mathematical Sciences]. 2018. Vol. 22. No 3. P. 504–517 (In Russian).

19. Radaev Yu.N., Murashkin E.V. Psevdotenzornaya formulirovka mekhaniki gemitropnykh mikropolyarnykh sred [Pseudotensor formulation of the mechanics of hemitropic micropolar media]. Problemy prochnosti i plastichnosti [Problems of Strength and Plasticity]. 2020. Vol. 82. No 4. P. 399–412 (In Russian).

20. Altenbach J., Altenbach H., Eremeyev V.A. On generalized Cosserat-type theories of plates and shells: a short review and bibliography. Arch. Appl. Mech. 2010. Vol. 80. P. 73–92. DOI: 10.1007/s00419-009-0365-3.

21. dell'Isola F., Igumnov L. Dynamics, Strength of Materials and Durability in Multiscale Mechanics. Cham. Springer. 2021. 404 p. DOI: 10.1007/978-3-030-53755-5.

22. Altenbach H., Eremeyev V.A., Igumnov L.A. Multiscale Solid Mechanics. Strength, Durability, and Dynamics. Cham. Springer. 2021. 500 p. DOI: 10.1007/978-3-030-54928-2.

23. Erofeev V., Antonov A., Leonteva A., Malkhanov A. Rayleigh waves in the Cosserat half-space (reduced model) and half-space of damaged material. Sixty Shades of Generalized Continua. Cham. Springer. 2023. P. 153–163. DOI: 10.1007/978-3-031-26186-2_12.

24. Murashkin E.V., Radayev Yu.N. Tenzor silovykh napryazheniy Skhoutena i affinornye plotnosti polozhitelnogo vesa [Chouten's force stress tensor and affinor densities of positive weight]. Problemy prochnosti i plastichnosti [Problems of Strength and Plasticity]. 2022. Vol. 84. No 4. P. 545–558 (In Russian).

25. Murashkin E.V., Radayev Yu.N. O kvadratichnykh popravkakh opredelyayushchikh uravneniy dlya gemitropnogo mikropolyarnogo uprugogo tela [On quadratic corrections of constitutive equationsfor a hemitropic micropolar elastic solid]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriya fiziko-matematicheskie nauki [Journal of Samara State Technical University. Ser. Physical and Mathematical Sciences]. 2025. Vol. 29. No 2. P. 274–293 (In Russian).

26. Murashkin E.V., Radaev Y.N. Cubic approximation of stress potential for a hemitropic micropolar elastic solid. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2025. Vol. 46. No 5. P. 2391–2400. DOI: 10.1134/S1995080225606514.

27. Chouten J.A. Tensor Analysis for Physicists. Oxford. Clarendon Press. 1951. 277 p.

28. Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. Toronto. University of Toronto Press. 1949. 324 p.

29. Rozenfeld B.A. Mnogomernye prostranstva [Multidimensional Spaces]. Moscow. Nauka. 1966. 648 p. (In Russian).