Проблемы прочности и пластичности1814-914610.32326/1814-9146-2026-88-2-34-44OtherЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ГЕМИТРОПНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ ПОЛУИНВАРИАНТЫ СИСТЕМЫ ДВУХ АСИММЕТРИЧНЫХ ТЕНЗОРОВ ВТОРОГО РАНГАINTEGER RATIONAL HEMITROPIC CUBIC SEMIINVARIANTS FOR A SYSTEM OF TWO ASYMMETRIC SECOND RANK TENSORSМурашкинЕ.В.MurashkinE.V.evmurashkin@gmail.comРадаевЮ.НRadayevYu.N.radayev@ipmnet.ruIshlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS (Moscow, Russia, Russian Federation)Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН (Москва, Российская Федерация)300620268823444https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/CC BY 4.0http://ppp.mech.unn.ru/index.php/ppp/article/view/947

Построены абсолютные инварианты и полуинварианты для системы, состоящей из одного тензора и одного псевдотензора второго ранга в трехмерном пространстве. Приводятся определения индивидуальных и совместных инвариантов и полуинвариантов. Обсуждаются понятия полного неприводимого набора инвариантов и полуинвариантов. Представлены несколько систем индивидуальных инвариантов и формулы Ньютона, связывающие их между собой. Обсуждаются понятия полных, неполных и неприводимых наборов инвариантов. Отмечается важность теоремы Гамильтона – Келли для минимизации наборов инвариантов с помощью целых рациональных сизигий. Обсуждается понятие псевдотензора. Вводится понятие псевдоскалярной единицы и скалярной функции, вычисляющей алгебраический вес псевдотензора. Предлагается алгоритм построения полного набора инвариантов заданного целого порядка и его последующая ренумерация. Получен полный неприводимый набор индивидуальных и совместных 9 квадратичных и 28 кубических целых рациональных алгебраических инвариантов и полуинвариантов для системы из одного тензора и одного псевдотензора второго ранга. Вычислены целые алгебраические веса полученных псевдоинвариантов. Отдельно выделены полуинварианты, чувствительные к зеркальным отражениям и инверсиям трехмерного объемлющего евклидова прстранства, таких полуинваринатов оказывается всего 18, среди них 1 линейный, 3 квадратичных и 14 кубических. Указанный выше набор 37 полуинвариантов затем используется для построения кубической энергетической формы, характеризующейся 37 определяющими скалярами/псевдоскалярами (9 линейными и 28 квадратичными) и соответсвующей математической модели нелинейного гемитропного микрополярного упругого тела. Получены определяющие уравнения нелинейного гемитропного микрополярного тела, включающие в себя квадратичные поправки.

The present study deals with absolute invariants and semi-invariants for a system comprising one second-rank tensor and one second-rank pseudotensor in three-dimensional space. Definitions are provided for individual and joint invariants as well as semi-invariants. The concepts of a complete irreducible set of invariants and semi-invariants are discussed. Several systems of individual invariants are presented, along with Newton's formulas that interrelate them. The notions of complete, incomplete, and irreducible sets of invariants are examined. The significance of the Cayley – Hamilton theorem for minimizing invariant sets via integral rational syzygies is emphasized. The concept of a pseudotensor is elucidated. The notions of a pseudoscalar unit and a scalar function that computes the algebraic weight of a pseudotensor are introduced. An algorithm is proposed for constructing a complete set of invariants of a prescribed integer order, followed by their renumbering. A complete irreducible set of individual and joint integral rational algebraic invariants and semi-invariants-comprising 9 quadratic and 28 cubic elements – is obtained for a system consisting of one tensor and one pseudotensor of second rank. The integral algebraic weights of the resulting pseudoinvariants are computed. Among these, the semi-invariants sensitive to mirror reflections and inversions of the three-dimensional ambient Euclidean space are singled out; there are 18 such semi-invariants in total: 1 linear, 3 quadratic, and 14 cubic. The specified set of 37 semi-invariants is subsequently employed to construct a cubic energetic form characterized by 37 constitutive scalars/pseudoscalars (9 linear and 28 quadratic) and the corresponding mathematical model of a nonlinear hemitropic micropolar elastic solid. The constitutive equations of the nonlinear hemitropic micropolar body, incorporating quadratic corrections, are derived.

псевдотензормикрополярный гемитропный континуумполуинвариантопределяющий псевдоскалярнелинейный микрополярный континуумкубическая энергетическая формаcubic energy formpseudotensormicropolar hemitropic continuumsemi-invariantconstitutive pseudoscalarnonlinear micropolar continuumГуревич Г.Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М.–Л.: ГИТТЛ, 1948. 408 с.Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 156 с.Сушкевич А. К. Основы высшей алгебры. М.–Л.: ОНТИ, ГРТТЛ, 1937. 468 с.Spencer A.J.M., Rivlin R.S. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: Part I. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1962. Vol. 9. P. 45–63. DOI: 10.1007/bf00253332.Spencer A.J.M. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: Part II. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1965. Vol. 18. No 1. P. 51–82. DOI: 10.1007/bf00253982.Жилин П.А. Рациональная механика сплошных сред. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. 584 с.Khaniki H.B., Ghayesh M.H., Chin R. et al. A review on the nonlinear dynamics of hyperelastic structures. Nonlinear Dynamics. 2022. Vol. 110. P. 963–994. DOI: 10.1007/s11071-022-07700-3.Eremeyev V.A., Lebedev L.P., Altenbach H. Foundations of Micropolar Mechanics. Heidelberg: Springer, 2012. 203 p.Soldatos K.P. New trends in couple-stress hyperelasticity. Mathematics and Mechanics of Solids. 2023. Vol. 30. Iss. 2. P. 174–201. DOI: 10.1177/10812865231177673.Cosserat E., Cosserat F. The?orie des corps de?formables. Paris: A. Hermann et fils, 1909. 226 p.Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Berlin: Springer, 1986. 386 p.Gu..nther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratschen Kontinuums. Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft. 1958. Vol. 10. P. 195–213.Kessel S. Lineare Elastizita..tstheorie des anisotropen Cosserat-Kontinuums. Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft. 1964. Vol. 16. P. 1–22.Neuber H. U..ber Probleme der Spannungs konzentration im Cosserat-K?rper. Acta Mechanica. 1966. Vol. 2. P. 48–69. DOI: 10.1007/bf01176729.Neuber H. On the effect of stress concentration in Cosserat continua. Mechanics of Generalized Continua. Berlin–Heidelberg: Springer, 1968. P. 109–113.Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Berlin: Springer, 1972. 483 p.Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford–New York: Pergamon Press, 1986. 383 p.Радаев Ю.Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума. Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физ.-мат. науки. 2018. Т. 22. №3. С. 504–517. DOI: 10.14498/vsgtu1635.Радаев Ю.Н., Мурашкин Е.В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред. Проблемы прочности и пластичности. 2020. Т. 82. №4. С. 399–412. DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.Altenbach J., Altenbach H., Eremeyev V.A. On generalized Cosserat-type theories of plates and shells: a short review and bibliography. Archive of Applied Mechanics. 2010. Vol. 80. P. 73–92. DOI: 10.1007/s00419-009-0365-3.dell'Isola F., Igumnov L. Dynamics, Strength of Materials and Durability in Multiscale Mechanics. Cham: Springer, 2021. 404 p. DOI: 10.1007/978-3-030-53755-5.Altenbach H., Eremeyev V.A., Igumnov L.A. Multiscale Solid Mechanics. Strength, Durability, and Dynamics. Cham: Springer, 2021. 500 p. DOI: 10.1007/978-3-030-54928-2.Erofeev V., Antonov A., Leonteva A., Malkhanov A. Rayleigh waves in the Cosserat half-space (reduced model) and half-space of damaged material. Sixty Shades of Generalized Continua. Cham: Springer, 2023. P. 153–163. DOI: 10.1007/978-3-031-26186-2_12.Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. Тензор силовых напряжений Схоутена и аффинорные плотности положительного веса. Проблемы прочности и пластичности. 2022. Т. 84. №4. С. 545–558. DOI: 10.32326/1814-9146-2022-84-4-545-558.Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. О квадратичных поправках определяющих уравнений для гемитропного микрополярного упругого тела. Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физ.-мат. науки. 2025. Т. 29. №2. С. 274–293. DOI: 10.14498/vsgtu2144.Murashkin E.V., Radaev Y.N. Cubic approximation of stress potential for a hemitropic micropolar elastic solid. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2025. Vol. 46. No 5. P. 2391–2400. DOI: 10.1134/S1995080225606514.Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965. 456 с.Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. Toronto: University of Toronto Press, 1949. 324 p.Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с.Gurevich G.B. Osnovy teorii algebraicheskikh invariantov [Foundations of the Theory of Algebraic Invariants]. Moscow. Leningrad. Gosudarstvennoe izdatelstvo tekhniko-teoreti-cheskoy literatury. 1948. 408 p. (In Russian).Spencer A.J.M. Theory of Invariants. New York. London. Academic Press. 1977. 158 p.Sushkevich A. K. Osnovy vysshey algebry [Fundamentals of Higher Algebra]. Moscow. Leningrad. ONTI. GRTTL Publ. 1937. 468 p. (In Russian).Spencer A.J.M., Rivlin R.S. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: Part I. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1962. Vol. 9. P. 45–63. DOI: 10.1007/bf00253332.Spencer A.J.M. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: Part II. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1965. Vol. 18. No 1. P. 51–82. DOI: 10.1007/bf00253982.Zhilin P.A. Ratsionalnaya mekhanika sploshnykh sred [Rational Mechanics of Continua]. Saint Petersburg. Politekhnic unstitute Publ. 2012. 584 p. (In Russian).Khaniki H.B., Ghayesh M.H., Chin R. et al. A review on the nonlinear dynamics of hyperelastic structures. Nonlinear Dyn. 2022. Vol. 110. P. 963–994. DOI: 10.1007/s11071-022-07700-3.Eremeyev V.A., Lebedev L.P., Altenbach H. Foundations of Micropolar Mechanics. Heidelberg. Springer. 2012. 203 p.Soldatos K.P. New trends in couple-stress hyperelasticity. Math. Mech. Solids. 2023. Vol. 30. Iss. 2. P. 174–201. DOI: 10.1177/10812865231177673.Cosserat E., Cosserat F. The?orie des corps de?formables. Paris. A. Hermann et fils. 1909. 226 p.Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Berlin. Springer. 1986. 386 p.Gu..nther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratschen Kontinuums. Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft. 1958. Vol. 10. P. 195–213.Kessel S. Lineare Elastizita..tstheorie des anisotropen Cosserat-Kontinuums. Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft. 1964. Vol. 16. P. 1–22.Neuber H. U..ber Probleme der Spannungs konzentration im Cosserat-K?rper. Acta Mech. 1966. Vol. 2. P. 48–69. DOI: 10.1007/bf01176729.Neuber H. On the effect of stress concentration in Cosserat continua. Mechanics of Generalized Continua. Berlin. Heidelberg. Springer. 1968. P. 109–113.Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Berlin. Springer. 1972. 483 p.Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford. New York. Pergamon Press. 1986. 383 p.Radaev Yu.N. Pravilo mnozhiteley v kovariantnykh formulirovkakh mikropolyarnykh teoriy mekhaniki kontinuuma [Multiplier rule in covariant formulations of micropolar theories of continuum mechanics]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriya. Fiziko-matematicheskie nauki [Journal of Samara State Technical University. Ser. Physical and Mathematical Sciences]. 2018. Vol. 22. No 3. P. 504–517 (In Russian).Radaev Yu.N., Murashkin E.V. Psevdotenzornaya formulirovka mekhaniki gemitropnykh mikropolyarnykh sred [Pseudotensor formulation of the mechanics of hemitropic micropolar media]. Problemy prochnosti i plastichnosti [Problems of Strength and Plasticity]. 2020. Vol. 82. No 4. P. 399–412 (In Russian).Altenbach J., Altenbach H., Eremeyev V.A. On generalized Cosserat-type theories of plates and shells: a short review and bibliography. Arch. Appl. Mech. 2010. Vol. 80. P. 73–92. DOI: 10.1007/s00419-009-0365-3..dell'Isola F., Igumnov L. Dynamics, Strength of Materials and Durability in Multiscale Mechanics. Cham. Springer. 2021. 404 p. DOI: 10.1007/978-3-030-53755-5.Altenbach H., Eremeyev V.A., Igumnov L.A. Multiscale Solid Mechanics. Strength, Durability, and Dynamics. Cham. Springer. 2021. 500 p. DOI: 10.1007/978-3-030-54928-2.Erofeev V., Antonov A., Leonteva A., Malkhanov A. Rayleigh waves in the Cosserat half-space (reduced model) and half-space of damaged material. Sixty Shades of Generalized Continua. Cham. Springer. 2023. P. 153–163. DOI: 10.1007/978-3-031-26186-2_12.Murashkin E.V., Radayev Yu.N. Tenzor silovykh napryazheniy Skhoutena i affinornye plotnosti polozhitelnogo vesa [Chouten's force stress tensor and affinor densities of positive weight]. Problemy prochnosti i plastichnosti [Problems of Strength and Plasticity]. 2022. Vol. 84. No 4. P. 545–558 (In Russian).Murashkin E.V., Radayev Yu.N. O kvadratichnykh popravkakh opredelyayushchikh uravneniy dlya gemitropnogo mikropolyarnogo uprugogo tela [On quadratic corrections of constitutive equationsfor a hemitropic micropolar elastic solid]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriya fiziko-matematicheskie nauki [Journal of Samara State Technical University. Ser. Physical and Mathematical Sciences]. 2025. Vol. 29. No 2. P. 274–293 (In Russian).Murashkin E.V., Radaev Y.N. Cubic approximation of stress potential for a hemitropic micropolar elastic solid. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2025. Vol. 46. No 5. P. 2391–2400. DOI: 10.1134/S1995080225606514.Chouten J.A. Tensor Analysis for Physicists. Oxford. Clarendon Press. 1951. 277 p.Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. Toronto. University of Toronto Press. 1949. 324 p.. Rozenfeld B.A. Mnogomernye prostranstva [Multidimensional Spaces]. Moscow. Nauka. 1966. 648 p. (In Russian).