ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

В.В. Куракин Kurakin; В.Г. Григорьев Grigor'ev

doi:10.32326/1814-9146-2026-88-2-22-33

В.В. Куракин Kurakin Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва
В.Г. Григорьев Grigor'ev Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва

DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2026-88-2-22-33

Ключевые слова: сжимаемая жидкость, пространственная постановка, частотно-модальная задача, метод конечных элементов, смешанный вариационный принцип

Аннотация

Выполнено моделирование собственных колебаний сжимаемой среды со свободной поверхностью в жесткой полости методом конечных элементов. Предложена полная математическая постановка задачи Штурма – Лиувилля на основе смешанного вариационного принципа, в том числе предложены выражения для слагаемых лагранжиана механической системы, учитывающих сжимаемость среды. Введен шестигранный восьмиузловой конечный элемент объема жидкости и четырехугольный четырехузловой конечный элемент свободной поверхности жидкости. Подробно изложен процесс интегрирования слагаемых, учитывающих сжимаемость среды, по введенной топологии конечного элемента объема жидкости с использованием квадратуры Гаусса – Лежандра. Получены выражения для матрицы масс и матрицы жесткости, соответствующие этим слагаемым. Кратко описан процесс получения выражений для остальных интегралов с использованием квадратуры Гаусса – Лежандра, формирующих самостоятельную задачу, не учитывающую сжимаемость среды. Приведено описание численного алгоритма нахождения частот и форм собственных колебаний. Приведены результаты численного эксперимента, реализованного на языке программирования C++ в среде Microsoft Visual Studio Community для исходных данных, подготовленных в среде табличного препроцессора Excel с использованием языка программирования Visual Basic for Application. Проведен краткий анализ графика зависимости первых трех собственных частот колебаний от скорости звука в среде. Показана непротиворечивость полученных результатов путем выполнения предельных переходов при стремлении скорости звука в среде к нулю и бесконечности. Выполнен краткий анализ третьей формы колебаний путем сравнения вертикального смещения свободной поверхности и избыточного давления на этой поверхности. Сделаны выводы о дальнейших перспективах использования реализованных алгоритмов в практических задачах.

Литература

1. Elaikh T.H. Free vibration of axisymmetric thin oblate shells containing fluid. Thi-Qar University Journal for Engineering Sciences. 2010. Vol. 1. No 1. P. 63–81. https://doi.org/10. 31663/utjes.v1i1.127.

2. Ayaz O., Noori A.R., Sivri B., Temel B. Static analysis of axisymmetric thin cylindrical shell using the complementary functions method. Konya Journal of Engineering Sciences. 2025. Vol. 13. No 2. P. 510–523. DOI: 10.36306/konjes.1606387.

3. Kashfutdinov B.D., Shcheglov G.A.Validatsiya svobodnogo programmnogo obespecheniya Code_Aster primenitelno k zadache modalnogo analiza tsilindricheskoy obolochki s zhidkostyu [Validation of the open source Code_Aster software used in the modal analysis of the fluid-filled cylindrical shell]. Nauka i obrazovanie. MGTU imeni N.E. Baumana. Elektronyy zhurnal [Science and Education. Bauman Moscow State Technical University. Electronic Journal]. 2017. No 06. P. 101–117 (In Russian).

4. Amabili M., Paidoussis M.P., Lakis A.A. Vibrations of partially filled cylindrical tanks with ring-stiffeners and flexible bottom. J. Sound Vib. 1998. Vol. 213. Iss. 2. P. 259–299. DOI: 10. 1006/jsvi.1997.1481.

5. Khudainazarov S., Mavlanov T., Sabirjanov T., Donayev B. Investigation of natural vibrations of thin-walled structures interacting with fluid. E3S Web of Conferences. 2023. Vol. 402. No 5. P. 07011-1–07011-12. https://doi.org/10.1051/e3sconf/202340207011.

6. Grachev S.V., Smagin D.S., Savelev R.S., Napreenko K.S., Zinina A.I. Kontseptsiya modelirovaniya toplivnoy sistemy s uchetom trebovaniy sertifikatsii [The concept of fuel system's mathematical modeling based on certification requirements]. Computational Nanotechnology. 2020. Vol. 7. No 3. P. 45–51 (In Russian).

7. Bochkarev S.A., Lekomtsev S.V., Senin A.N. Natural vibrations and stability of loaded cylindrical shells partially filled with fluid, taking into account gravitational effects. Thin-Walled Struct. 2021. Vol. 164. P. 107867-1–107867-6. DOI: 10.1016/j.tws.2021.107867.

8. Bochkarev S.A., Lekomtsev S.V. Analysis of natural vibration of truncated conical shells partially filled with fluid. International Journal of Mechanical System Dynamics. 2024. Vol. 4. No 2. P. 142–152. DOI: 10.1002/msd2.12105.

9. Bochkarev S.A., Lekomtsev S.V., Senin A.N. Chislennoe modelirovanie sobstvennykh kolebaniy chastichno zapolnennykh zhidkostyu koaksialnykh obolochek s uchetom effektov na svobodnoy poverkhnosti [Numerical modeling of natural vibrations of coaxial shells partially filled with fluid, takinginto account the effects on the free surface]. Vestnik Permskogo natsionalnogo issledovatelskogo politekcheskogo universiteta. Mekhanika [PNRPU Mechanics Bulletin]. 2022. No 1. P. 23–35 (In Russian).

10. Lekomtsev S.V., Matveenko V.P. Sobstvennye kolebaniya kompozitnykh ellipticheskikh tsilindricheskikh obolochek s zhidkostyu [Natural vibration of composite elliptical cylindrical shells filled with fluid]. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika [Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics]. 2024. Vol. 24. Iss. 1. P. 71–85 (In Russian).

11. Bochkarev S.A., Lekomtsev S.V., Matveenko V.P. Natural vibrations of truncated conical shells containing fluid. Mechanics of Solids. 2022. Vol. 57. Iss. 8. P. 1971–1986. DOI: 10.3103/S0025654422080064.

12. Bochkarev S.A., Kamenskikh A.O., Lekomtsev S.V. Experimental investigation of natu-ral and harmonic vibrations of plates interacting with air and fluid. Ocean Engineering. 2020. Vol. 206. P. 107341-1–107341-12. DOI: 10.1016/j.oceaneng.2020.107341.

13. Iurlov M.A., Kamenskikh A.O., Lekomtsev S.V., Matveenko V.P. Passive suppression of resonance vibrations of a plate and parallel plates assembly, interacting with a fluid. International Journal of Structural Stability and Dynamics. 2022. Vol. 22. No 9. P. 2250101-1 – 2250101-21. DOI: 10.1142/S0219455422501012.

14. Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V., Klochkov M.Yu., Dyukina N.S. Raschet obolochek na osnove smeshannogo varianta MKE s tenzorno-vektornoy approksimatsiey iskomykh velichin [Calculation of shells based on the mixed fem variant with tensor-vector approximation of the desired values]. Problemy prochnosti i plastichnosti [Problems of Strength and Plasticity]. 2024. Vol. 86. No 1. P. 26–35 (In Russian).

15. Klochkov M.Yu., Nikolaev A.P., Klochkov Yu.V., Vakhnina O.V., Dyukina N.S. Uprugo-plasticheskoe deformirovanie tonkostennykh konstruktsiy v dvumernoy postanovke na osnove smeshannogo MKE [Elastic-plastic deformation of thin-walled structures in two-dimensional statement based on mixed FEM]. Problemy prochnosti i plastichnosti [Problems of Strength and Plasticity]. 2025. Vol. 87. No 1. P. 113–121 (In Russian).

16. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Nithiarasu P. The Finite Element Method for Fluid Dynamics. Butterworth-Heinemann. Elsevier. 2014. 544 p.

17. Connor J.J., Brebbia C.A. Finite Element Techniques for Fluid Flow. London. Boston. Newnes-Butterworth. 1977. 317 p.

18. Landau L.D., Lifshits E.M. Course of Theoretical Physics. Vol. 6. Fluid Mechanics. Oxford. New York. Pergamon Press. 1987. 558 p.

19. Kochin N.E., Kibel I.A., Roze N.V. Teoreticheskaya gidromekhanika. Chast I [Theoretical Hydromechanics. Part I]. Moscow. Gosudarstvennoe izdatelstvo fiziko-matematicheskoy literatury. 1963. 585 p. (In Russian).

20. Gorshkov A.G., Morozov V.I., Ponomarev A.T., Shklyarchuk F.N. Aerogidrouprugost konstruktsiy [Aerohydroelasticity of Structures]. Moscow. Fizmatlit Publ. 2000. 592 p. (In Russian).

21. Gupta K.K. Solution of eigenvalue problems by Sturm sequence method. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1972. Vol. 4. P. 379–404. DOI: 10.1002/nme. 1620040308.