Выполнено моделирование собственных колебаний сжимаемой среды со свободной поверхностью в жесткой полости методом конечных элементов. Предложена полная математическая постановка задачи Штурма – Лиувилля на основе смешанного вариационного принципа, в том числе предложены выражения для слагаемых лагранжиана механической системы, учитывающих сжимаемость среды. Введен шестигранный восьмиузловой конечный элемент объема жидкости и четырехугольный четырехузловой конечный элемент свободной поверхности жидкости. Подробно изложен процесс интегрирования слагаемых, учитывающих сжимаемость среды, по введенной топологии конечного элемента объема жидкости с использованием квадратуры Гаусса – Лежандра. Получены выражения для матрицы масс и матрицы жесткости, соответствующие этим слагаемым. Кратко описан процесс получения выражений для остальных интегралов с использованием квадратуры Гаусса – Лежандра, формирующих самостоятельную задачу, не учитывающую сжимаемость среды. Приведено описание численного алгоритма нахождения частот и форм собственных колебаний. Приведены результаты численного эксперимента, реализованного на языке программирования C++ в среде Microsoft Visual Studio Community для исходных данных, подготовленных в среде табличного препроцессора Excel с использованием языка программирования Visual Basic for Application. Проведен краткий анализ графика зависимости первых трех собственных частот колебаний от скорости звука в среде. Показана непротиворечивость полученных результатов путем выполнения предельных переходов при стремлении скорости звука в среде к нулю и бесконечности. Выполнен краткий анализ третьей формы колебаний путем сравнения вертикального смещения свободной поверхности и избыточного давления на этой поверхности. Сделаны выводы о дальнейших перспективах использования реализованных алгоритмов в практических задачах.

The finite element method is used to simulate natural oscillations of a compressible fluid with a free surface in a rigid cavity. A brief review of the literature on the topic is performed, and the relevance of the study is substantiated. A complete mathematical formulation of the Sturm –Liouville problem is proposed based on the mixed variational principle, including expressions for the terms of the Lagrangian of a mechanical system that take into account the compressibility of the fluid. A hexagonal eight-node finite element of the liquid volume and a quadrangular four-node finite element of the free surface of the liquid are injected. The process of integrating the terms that take into account the compressibility of the medium over the introduced topology of the finite element of the liquid volume using the Gauss – Legendre quadrature is described in detail. Expressions for the mass matrix and the stiffness matrix corresponding to these terms are obtained. The process of obtaining expressions for the remaining integrals using the Gauss – Legendre quadrature, which form an independent problem that does not take into account the compressibility of the fluid, is briefly described. A description of the numerical algorithm for finding the frequencies and forms of natural oscillations is given. The results of a numerical experiment implemented in the C++ programming language in the Microsoft Visual Studio Community environment are presented for the initial data prepared in the Excel table preprocessor environment using the Visual Basic for Application programming language. A brief analysis of the graph of the dependence of the first three natural oscillation frequencies on the speed of sound in the fluidis performed. The consistency of the results obtained by performing limit transitions as the speed of sound in the liquid tends to zero and infinity is shown. A brief analysis of the third oscillation form is performed by comparing the vertical displacement of the free surface and the excess pressure on this surface. Conclusions are made about the further prospects for using the implemented algorithms in practical problems.