О ВЫПУЧИВАНИИ СЖАТОЙ УПРУГОЙ ПОЛОГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ДИСЛОКАЦИЯМИ И ДИСКЛИНАЦИЯМИ
Аннотация
Исследуется задача о поведении равновесий сжатой упругой пологой прямоугольной в плане круговой цилиндрической оболочки. Оболочка находится под действием внутренних напряжений, которые вызваны полями непрерывно распределенных краевых дислокаций и клиновых дисклинаций. Сжимающая нагрузка равномерно распределена по криволинейным краям оболочки и действует параллельно образующей цилиндра. Рассмотрены граничные условия свободного защемления или шарнирного опирания краев оболочки. Получены нелинейные уравнения равновесия типа Кармана, при этом в правой части уравнения совместности деформаций появляется скалярная функция, которая называется функцией несовместности и зависит от плотности дислокаций и дисклинаций. Установлено, что при наличии источников напряжений решением системы уравнений является вектор-функция, компонентами которой являются прогиб и функция напряжений. Рассматривается также задача о слабом изгибе сжатой пологой оболочки с дислокациями и дисклинациями, которая решается разностным методом. В случае отсутствия полей дислокаций и дисклинаций нелинейная задача имеет тривиальное решение и после линеаризации возникает задача на собственные значения, которая определяет критические нагрузки потери устойчивости сжатой оболочки. Для решения проблемы собственных значений применяется вариационный метод в сочетании с разностным методом. Приведены результаты численных расчетов нескольких первых критических значений сжимающей нагрузки и построены графики компонентов соответствующих собственных вектор-функций. Для линейной задачи о равновесии сжатой оболочки с дислокациями и дисклинациями также приведены результаты численных расчетов и графики компонентов вектор-функций для заданных значений сжимающей нагрузки и функции несовместности.
Литература
2. Altenbach H., Eremeyev V.A. On the effective stiffness of plates made of hyperelastic materials with initial stresses. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2010. Vol. 45. Iss. 10. P. 976–981. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2010.04.007.
3. Zubov L., Derezin S. Elastic shells, dislocations, and disclinations. In: Encyclopedia of Continuum Mechanics. Eds. H. Altenbach, A. O..chsner. Berlin. Heidelberg. Springer. 2018. P. 1–7. https://doi.org/10.1007/978-3-662-53605-6_198-1.
4. Altenbach H., Eremeyev V.A. Bending of a three-layered plate with surface stresses. In: Analysis and Modelling of Advanced Structures and Smart Systems. Eds. H. Altenbach, E. Carrera, G. Kulikov. Singapore. Springer. 2018. P. 1–10. https://doi.org/10.1007/978-981-10-6895-9_1.
5. Zelenina A.A., Zubov L.M. Spherically symmetric deformations of micropolar elastic medium with distributed dislocations and disclinations. In: Advanced in Mechanics of Microstructured Media and Structures. Series: Advanced Structured Materials. Vol. 87. Eds. F. dell Isola, V.A. Eremeyev, A.V. Porubov. Cham. Springer. 2018. P. 357–369.
6. Goloveshkina E.V., Zubov L.M. Eigenstresses in a nonlinearly elastic sphere with distributed dislocations. In: New Achievements in Continuum Mechanics and Thermodynamics. Series: Advanced Structured Materials. Vol. 108. Eds. B. Abali, H. Altenbach, F. dell Isola et al. Cham. Springer International Publishing. 2019. P. 137–155. DOI:10.1007/978-3-030-13307-8_11.
7. Roychowdhury Ayan, Gupta Anurag. Dislocations, disclinations, and metric anomalies as sources of global strain incompatibility in thin shells. In: Shell Structures: Theory and Applications. Vol. 4. Eds. W. Pietraszkiewicz, W. Witkowski. CRC Press. 2018. P. 153–156. DOI: 10.1201/9781315166605-31.
8. Peshkhoev I.M., Stolyar A.M. Buckling of the nonuniformly compressed plate with dislocations and disclinations. In: Analysis of Shells, Plates, and Beams. Vol. 134. Eds. H. Altenbach, N. Chinchaladze, R. Kienzler, W. Mu..ller. Cham. Springer. 2020. P. 345–366. https://doi.org/10.1007/978-3-030-47491-1_18.
9. Peshkhoev I.M. Asimptotika kriticheskikh nagruzok szhatoy uzkoy plastiny s vnutrennimi napryazheniyami [Asymptotics of critical loads of a compressed narrow elastic plate with internal stresses]. Problemy prochnosti i plastichnosti [Problems of Strength and Plasticity]. 2021. Vol. 83. No 2. P. 227–234 (In Russian).
10. Peshkhoev I.M., Sobol B.V. Critical loads of uniformly compressed orthotropic rectangular plate on an elastic base. Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don). 2022. Vol. 22. No 3. P. 214–223. https://doi.org/10.23947/2687-1653-2022-22-3-214-223.
11. Zubov L.M., Karyakin M.I. Large strains of a spherical shell with distributed dislocations and disclinations. In: Sixty Shades of Generalized Continua. Advanced Structured Materials. Vol. 170. Eds. H. Altenbach, A. Berezovski, F. dell Isola, A. Porubov. Cham. Springer. 2023. P. 727–745. https://doi.org/10.1007/978-3-031-26186-2_45.
12. Vatulyan A.O., Nedin R.D. Ob odnoy zadache optimizatsii dlya prednapryazhennoy plastiny s peremennoy zhestkostyu [On an optimization problem for a prestressed plate with variable stiffness]. Problemy prochnosti i plastichnosti [Problems of Strength and Plasticity]. 2024. Vol. 86. No 2. P. 202–214 (In Russian).
13. Peshkhoev I.M. Ravnovesie normalno nagruzhennoy uprugoy pologoy tsilindricheskoy obolochki s dislokatsiyami i disklinatsiyami [Equilibrium of a normally loaded elastic shallow cylindrical shell with dislocations and disclinations]. Problemy prochnosti i plastichnosti [Problems of Strength and Plasticity]. 2024. Vol. 86. No 3. P. 321–329 (In Russian).
14. Yankovskii A.P. Opredelenie verkhney granitsy nesushchey sposobnosti osesimmetrichnykh armirovannykh pologikh obolochek, kontaktiruyushchikh s neszhimaemoy zhidkostyu [Determination of the upper limit of the bearing capacity of axisymmetric reinforced shallow shells in contact with an incompressible fluid]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 2025. Vol. 89. Iss. 2. P. 192–223 (In Russian).
15. Timoshenko S.P., Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells. New York. McGraw-Hill. 1959. 595 p.
16. Vashizu K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity. Oxford. New York. Toronto. Sydney. Frankfurt. Elsevier and Technology. 1982. 630 p.
17. Ciarlet P.G., Rabier P. Les equations de von Karman. Berlin. Heidelberg. New York. Springer-Verlag. 1980. 202 p.
18. Vorovich I.I. Nonlinear Theory of Shallow Shells. New York. Springer. 1999. 390 p.
19. Morozov N.F. K nelineynoy teorii tonkikh plastin [On the non-linear theory of thin plates]. Doklady AN SSSR [Doklady Physics]. 1957. Vol. 114. No 5. P. 968–671 (In Russian).
20. Mikhlin S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoy fizike [Variational Methods in Mathematical Physics]. Moscow. Nauka Publ. 1970. 512 p. (In Russian).
21. Samarskiy A.A., Andreev V.B. Raznostnye metody dlya ellipticheskikh uravneniy [Finite Difference Methods for Elliptic Equations]. Moscow. Nauka Publ. 1976. 352 p. (In Russian).
