Исследуется задача о поведении равновесий сжатой упругой пологой прямоугольной в плане круговой цилиндрической оболочки. Оболочка находится под действием внутренних напряжений, которые вызваны полями непрерывно распределенных краевых дислокаций и клиновых дисклинаций. Сжимающая нагрузка равномерно распределена по криволинейным краям оболочки и действует параллельно образующей цилиндра. Рассмотрены граничные условия свободного защемления или шарнирного опирания краев оболочки. Получены нелинейные уравнения равновесия типа Кармана, при этом в правой части уравнения совместности деформаций появляется скалярная функция, которая называется функцией несовместности и зависит от плотности дислокаций и дисклинаций. Установлено, что при наличии источников напряжений решением системы уравнений является вектор-функция, компонентами которой являются прогиб и функция напряжений. Рассматривается также задача о слабом изгибе сжатой пологой оболочки с дислокациями и дисклинациями, которая решается разностным методом. В случае отсутствия полей дислокаций и дисклинаций нелинейная задача имеет тривиальное решение и после линеаризации возникает задача на собственные значения, которая определяет критические нагрузки потери устойчивости сжатой оболочки. Для решения проблемы собственных значений применяется вариационный метод в сочетании с разностным методом. Приведены результаты численных расчетов нескольких первых критических значений сжимающей нагрузки и построены графики компонентов соответствующих собственных вектор-функций. Для линейной задачи о равновесии сжатой оболочки с дислокациями и дисклинациями также приведены результаты численных расчетов и графики компонентов вектор-функций для заданных значений сжимающей нагрузки и функции несовместности.
This paper examines the behavior of equilibria in a compressed, elastic, shallow, circular cylindrical shell with a rectangular planform. The shell is subject to internal stresses caused by fields of continuously distributed edge dislocations and wedge disclinations. The compressive load is uniformly distributed over the curved edges of the shell and acts parallel to the cylinder's generatrix. Boundary conditions for free clamping or pinned support of the shell edges are considered. Nonlinear equilibrium equations of the Karman type are derived. A scalar function, called the incompatibility function, appears on the right-hand side of the deformation compatibility equation and depends on the density of dislocations and disclinations. It is established that in the presence of stress sources, the solution to the system of equations is a vector function whose components are the deflection and the stress function. The problem of weak bending of a compressed shallow shell with dislocations and disclinations is also considered and solved using a difference method. In the absence of dislocation and disclination fields, the nonlinear problem has a trivial solution, and after linearization, an eigenvalue problem arises, which determines the critical buckling loads of a compressed shell. To solve the eigenvalue problem, a variational method is used in combination with a difference method. The results of numerical calculations for the first few critical values of the compressive load are presented, and graphs of the components of the corresponding eigenvector functions are plotted. For the linear equilibrium problem of a compressed shell with dislocations and disclinations, the results of numerical calculations and graphs of the components of the vector functions for given values of the compressive load and the incompatibility function are also presented.