ОБ УСЛОВИЯХ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ В ГРАДИЕНТНОЙ ТЕОРИИ ПОРОУПРУГОСТИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Аннотация
Обсуждаются условия сильной эллиптичности в нелинейной теории упругости. Рассматриваются модели простого в смысле Коши материала, а также градиентной теории упругости. Уравнения состояния простого материала записываются при помощи плотности энергии деформации, заданной функцией градиента деформации. Для градиентной теории упругости плотность энергии деформации зависит от первого и второго градиентов деформации в случае теории типа Тупина – Миндлина или от первого, второго и третьего градиентов вектора перемещений в случае градиентной теории упругости третьего порядка. Сформулированы условия сильной эллиптичности уравнений равновесия и проанализирована их связь с устойчивостью в малом. Условия сильной эллиптичности сформулированы в терминах плотности энергии деформации – ее выпуклости на определенных деформациях. Для градиентной теории упругости условия сильной эллиптичности, определяемые как в теории систем уравнений в частных производных, налагают ограничения только на форму энергии деформации и сами деформации в зависимости от градиентов деформации максимального порядка. Устойчивость в малом определена как положительная определенность второй вариации потенциальной энергии на допустимых перемещениях. Связь эллиптичности и устойчивости в малом здесь рассматривается для первой краевой задачи – краевой задачи с краевыми условиями типа Дирихле. Продемонстрированы существенные отличия в рассматриваемых моделях. Так, если в случае простого материала выполнение условия сильной эллиптичности вызывает устойчивость в малом аффинной деформации в случае первой краевой задачи, для градиентной теории упругости аналогичное утверждение, вообще говоря, не имеет места. Достаточными условиями устойчивости выступает серия неравенств. В качестве специального случая градиентной теории упругости рассмотрена теория градиентной пороупругости, для которой условия сильной эллиптичности не выполняются, а выполняются условия эллиптичности в смысле Даглиса – Ниренберга.
Литература
2. Fichera G., Linear elliptic differential systems and eigenvalue problems. Part of the book series: Lecture Notes in Mathematics. Vol. 8. Berlin. Springer. 1965. 174 p.
3. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. I. Commun. Pure Appl. Math. 1959. Vol. 12. Iss. 4. P. 623–727.
4. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II. Commun. Pure Appl. Math. 1964. Vol. 17. Iss. 1. P. 35–92.
5. Volevich L.R. Razreshimost kraevykh zadach dlya obshchikh ellipticheskikh sistem. [Solubility of boundary value problems for general elliptic systems]. Matematicheskii Sbornik. Novaya Seriya. 1965. Vol. 68(110). No 3. P. 373–416 (In Russian).
6. Lurie A.I. Non-Linear Theory of Elasticity. Amsterdam. North-Holland. 1990. 617 p.
7. Ogden R.W. Non-Linear Elastic Deformations. Mineola. Dover. 1997. 532 p.
8. Bertram A. Compendium on Gradient Materials. Cham. Springer. 2023. 293 p.
9. Bertram A. Elasticity and Plasticity of Large Deformations: Including Gradient Materials. Berlin. Springer Nature. 2021. 410 p.
10. Bertram A., Forest S. Mechanics of strain gradient materials. Part of: CISM International Centre for Mechanical Sciences, 600. Cham. Springer. 2020. 171 p.
11. dell'Isola F., Steigmann D.J. Discrete and Continuum Models for Complex Metamaterials. Cambridge. Cambridge University Press. 2020. 626 p.
12. Toupin R. Elastic materials with couple-stresses. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1962. Vol. 11. No 1. P. 385–414.
13. Toupin R.A. Theories of elasticity with couple-stress. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1964. Vol. 17. No 2. P. 85–112.
14. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1964. Vol. 16. No 1. P. 51–78.
15. Mindlin R.D., Eshel N.N. On first strain-gradient theories in linear elasticity. Int. J. Solids Struct. 1968. Vol. 4. Iss. 1. P. 109–124. https://doi.org/10.1016/0020-7683(68)90036-x.
16. Mindlin R.D. Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity. Int. J. Solids Struct. 1965. Vol. 1. Iss. 4. P. 417–438. DOI: 10.1016/0020-7683(65)90006-5
17. Eremeyev V.A. Strong ellipticity conditions and infinitesimal stability within nonlinear strain gradient elasticity. Mech. Res. Commun. 2021. Vol. 117. Iss. 3. Article No 103782. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2021.103782.
18. Eremeyev V.A., Reccia E. Strong ellipticity within the strain gradient elasticity: elastic bar case. In: Theoretical Analyses, Computations, and Experiments of Multiscale Materials. Cham. Springer. 2022. P. 137–144.
19. Eremeyev V.A., Reccia E. Nonlinear strain gradient and micromorphic one-dimensional elastic continua: Comparison through strong ellipticity conditions. Mech. Res. Commun. 2022. Vol. 124. Iss. 4. Article No 103909. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2022.103909.
20. Eremeyev V.A. O silnoy elliptichnosti i ustoychivosti v malom v nelineynoy gradientnoy teorii uprugosti tretyego poryadka [On strong ellipticity and infinitesimal stability within nonlinear strain gradient elasticity of third order]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Journal of Applied Mathematics and Mechanics]. 2022. Vol. 86. No 4. P. 470–476 (In Russian).
21. Eremeyev V.A., Lurie S.A., Solyaev Y.O., dell'Isola F. On the well posedness of static boundary value problem within the linear dilatational strain gradient elasticity. Zeitschrift fu..r angewandte Mathematik und Physik. 2020. Vol. 71. No 6. Article No 182.
22. Eremeyev V.A., Cazzani A., dell'Isola F. On nonlinear dilatational strain gradient elasticity. Contin. Mech. Thermodyn. 2021. Vol. 33. No 4. P. 1429–1463.
23. Lurie S.A., Kalamkarov A.L., Solyaev Y.O., Volkov A.V. Dilatation gradient elasticity theory. Eur. J. Mech. A-Solid. 2021. Vol. 88. Article No 104258. DOI: 10.1016/j.euromechsol. 2021.104258.
24. Eremeyev V.A. Ellipticity of gradient poroelasticity. Int. J. Eng. Sci.. 2023. Vol. 190. Article No 103885. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2023.103885.
25. Cowin S.C., Nunziato J.W. Linear elastic materials with voids. J. Elast. 1983. Vol. 13. No 2. P. 125–147. DOI: 10.1007/bf00041230.
26. Eremeyev V.A., Cloud M.J., Lebedev L.P. Applications of Tensor Analysis in Continuum Mechanics. New Jersey. World Scientific. 2018. 498 p.
27. Eremeyev V.A. Strong ellipticity and infinitesimal stability within nth-order gradient elasticity. Mathematics. 2023. Vol. 11. Iss. 4. Article No 1024. DOI: 10.3390/math11041024.
