ОБ ОДНОЙ ПОСТАНОВКЕ ОБРАТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГИХ ТЕЛ И МЕТОДАХ ЕЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Аннотация

Рассмотрена задача о реконструкции переменных физико-механических характеристик функционально-градиентных тел, находящихся под действием внешних статических нагрузок при наличии ограничений на область съема дополнительной информации. Предложен подход, позволяющий свести обратную задачу с величинами, заданными на границе, к обратной задаче в первой постановке, к задаче, в которой нужно найти неизвестные переменные коэффициенты по информации о поле, заданном во всей области. Предложен аналог метода Галеркина для построения аппроксимации поля. Рассмотрен пример обратной задачи по реконструкции изгибной жесткости консольно закрепленной с одного торца балки, изгибаемой различной нагрузкой, в том числе распределенной, а также силой и/или моментом, приложенными к другому торцу. Дополнительная информация о прогибе задана на части балки, свободной от нагрузки. Реализовано несколько вариантов аппроксимации функции прогиба с последующим построением изгибной жесткости с использованием регуляризации по А.Н. Тихонову. Разработанная схема позволила с высокой точностью восстановить изгибную жесткость в области, доступной для съема дополнительной информации. В остальной области вторая производная прогиба доопределяется квадратичной функцией с сохранением гладкости и с некоторой погрешностью находится изгибная жесткость. Проведена серия вычислительных экспериментов, где область съема дополнительной информации составляла 50 и 65% от общей области. В качестве второго примера предложен подход, позволяющий осуществить реконструкцию податливости (функции, обратно пропорциональной жесткости) в классе полиномиальных функций. Задача сведена к решению алгебраической системы уравнений относительно неизвестных коэффициентов полинома. Вычислен определитель системы, проанализирована обусловленность матрицы в зависимости от точек съема информации о прогибе, даны рекомендации по их выбору. Представлена серия вычислительных экспериментов.