ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ МНОГОМЕРНОГО УПРАВЛЯЕМОГО ОБЪЕКТА
Аннотация
Исследуется многомерная динамическая система, моделирующая колебания различных технических управляемых объектов, математическое описание которых может быть представлено в виде кусочно-непрерывных или разрывных автономных обыкновенных дифференциальных уравнений с характеристикой управления объектом в виде кусочно-линейной непрерывной либо разрывной функции. Структура фазового пространства рассматриваемой динамической системы составлена из трех подпространств, в каждом из которых динамика определяется своими дифференциальными уравнениями. Качественное исследование нелинейной динамики системы и фазовых портретов полного фазового пространства изучается с использованием математического аппарата теории бифуркаций и метода точечных отображений двумерных поверхностей Пуанкаре. Приведены аналитические уравнения точечных отображений, уравнения для определения координат неподвижных точек, соответствующих устойчивым периодическим симметричным движениям объекта. Доказано существование петли сепаратрисы, идущей из седла в седло, определена область параметров, в которой петля сепаратрисы заведомо существует, а также показано, что в любой окрестности петли сепаратрисы седло-фокус в выделенной области параметров лежит счетное множество периодических движений исследуемой кусочно-линейной динамической системы. Доказана лемма о существовании в пространстве параметров непустой области значений, при которых в системе существует петля сепаратрисы. Разработан подробный алгоритм для численного расчета петли сепаратрисы. Доказано, что в любой окрестности петли сепаратрисы седло-фокус в найденной области параметров лежит счетное множество периодических движений системы. Расчеты сложных типов движения управляемого объекта проведены по разработанному программному продукту на языке Python с помощью математического пакета Plotly. Показано, что в этой области параметров в системе существуют как симметричные устойчивые периодические движения, так и хаотические движения объекта.
