РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН В СТЕРЖНЕ МИНДЛИНА – ГЕРМАНА, ПОГРУЖЕННОМ В НЕЛИНЕЙНО-УПРУГУЮ СРЕДУ
Аннотация
Изучается распространение продольных волн в однородном стержне, погруженном в нелинейно-упругую среду. Динамическое поведение стержня определяется теорией Миндлина – Германа, которая пренебрегает гипотезой о пропорциональности поперечных деформаций продольным деформациям при осевом растяжении или сжатии. Для описания движения частиц в поперечном направлении вводится дополнительная функция, обеспечивающая большую точность модели.
Исходная система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению четвертого порядка относительно продольного смещения частиц стержня. Это уравнение, с одной стороны, позволяет получить эволюционное уравнение и найти его точное решение, с другой – допускает качественное исследование в двух частных случаях в переменных бегущей волны.
Показано, что эволюционное уравнение представляет собой уравнение Островского с дополнительным квадратично-нелинейным слагаемым. Методом простейших уравнений для эволюционного уравнения найдены точные решения из класса стационарных волн, сохраняющих свою форму и скорость в процессе распространения. Волны имеют вид солитона классического профиля. Тип нелинейности (мягкая, жесткая) среды влияет на полярность локализованной волны. Среде с мягкой нелинейностью соответствует солитон положительной полярности. Получены зависимости амплитуды, ширины и скорости нелинейной волны от параметров системы, характеризующих нелинейно-упругую среду.
Случаи, доступные для качественного исследования, возможны при равенстве нулю коэффициента при старшей производной. В одном случае исследуется уравнение ангармонического осциллятора с двумя типами квадратичной нелинейности. Получен первый интеграл уравнения и построены фазовые портреты при различных соотношениях параметров системы, влияющих на существование и вид фазовых траекторий. В другом случае исследуется классическое уравнение ангармонического осциллятора с квадратичной нелинейностью, которое достаточно хорошо изучено. Качественный анализ частных случаев показывает возможность существования в рассматриваемой системе локализованных и нелинейных периодических волн.
