ПРОДОЛЬНАЯ ВОЛНА, РАСПРОСТРАНЯЮЩАЯСЯ В ВЯЗКОУПРУГОМ ПО МОДЕЛИ МАКСВЕЛЛА СТЕРЖНЕ. ЧАСТЬ 1. АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И ЧАСТОТНО-ЗАВИСИМОГО ЗАТУХАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Аннотация

Исследуется динамика стержня, материал которого подчиняется закону деформирования среды Максвелла. Распространение продольной волны в таком стержне описывается одномерным волновым уравнением, дополненным слагаемым, характеризующим вязкость материала. Решение уравнения отыскивается в виде бегущей гармонической волны. От исходного дифференциального уравнения в частных производных осуществляется переход к алгебраическому комплексному дисперсионному уравнению, связывающему частоту и волновое число, позволяющему вычислить фазовую и групповую скорости волны, определить закономерности ее распространения и затухания. При анализе дисперсионного уравнения выделены две задачи: 1) частота считается действительной величиной, а волновое число – комплексной величиной (так принято при решении краевых задач); 2) волновое число считается действительной величиной, а частота – комплексной величиной (так принято при решении задачи Коши). Подробно рассмотрена первая задача. Выявлено, что продольная волна, удовлетворяющая ее условиям, обладает следующими особенностями распространения: при увеличении действительной части волнового числа ее частота возрастает (при малой вязкости возрастает медленно, при большой вязкости – быстро), фазовая скорость сначала возрастает, а затем выходит на горизонтальную асимптоту, групповая скорость возрастает, достигает максимума, затем убывает, выходя на ту же горизонтальную асимптоту, что и фазовая скорость. Во всем диапазоне изменения действительной части волнового числа наблюдается аномальная дисперсия продольной волны (то есть групповая скорость больше, чем фазовая); затухание волны (определяемое мнимой частью волнового числа) сначала увеличивается с ростом частоты, затем выходит на горизонтальную асимптоту и становится частотно-независимым.