ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ПРЕДНАПРЯЖЕННОЙ ПЛАСТИНЫ С ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ
Аннотация
Большинство исследований в области задач оптимизации в механике деформируемого твердого тела направлено на поиск оптимальной формы элементов конструкций, что чаще всего приводит к поиску оптимальных распределений геометрических характеристик рассматриваемых объектов с целью обеспечения снижения веса объекта и улучшения прочностных характеристик. Вместе с тем, с появлением современных материалов с переменными физико-механическими свойствами возникли новые актуальные ответвления в задачах оптимизации, а также в обратных задачах реконструкции законов неоднородности переменных характеристик. В настоящем исследовании рассмотрена задача об установившихся колебаниях предварительно напряженной неоднородной круглой упругой пластины в осесимметричной постановке. Представлены вариационная и слабая постановки задачи. Исследован случай свободных колебаний шарнирно опертой по контуру пластины; показано, что задача на собственные значения является самосопряженной и вполне определенной. Рассмотрена задача поиска оптимального распределения упругого модуля пластины и соответствующей формы колебаний с целью максимизации первой собственной частоты. Предложено изопериметрическое условие для функции переменной жесткости. На основе энергетического соотношения Рэлея сформулирован принцип минимума для первого собственного значения и соответствующей собственной функции – формы колебаний пластины. На основе вариационного принципа с использованием построенного соотношения Рэлея сформулировано условие оптимальности, получено явное представление для функций оптимальной формы колебаний и оптимальной жесткости с учетом начального радиального растяжения или сжатия пластины. Определен диапазон возможных значений для величины начального напряжения. Получены и проанализированы результаты решения задачи в виде построения оптимальных законов неоднородности для функции жесткости в классе гладких функций в рассмотренном диапазоне изменения начальных напряжений.
