О ВЕТВЛЕНИИ РАВНОВЕСИЙ СЖАТОГО УПРУГОГО СТЕРЖНЯ НА НЕЛИНЕЙНО УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Аннотация

Рассматривается задача о потере устойчивости и послекритическом поведении сжатого упругого стержня на нелинейно упругом основании, находящегося под действием малого поперечного давления. Исследование проводится на основе нелинейного уравнения равновесия, полученного с учетом точной формулы кривизны осевой линии стержня, при этом кривизна аппроксимируется асимптотической формулой третьего порядка относительно прогиба. Краевые условия соответствуют свободному защемлению или подвижной шарнирной опоре концов стержня. Исследуется влияние малой поперечной нагрузки и параметров реакции нелинейно упругого основания на критические нагрузки потери устойчивости. Критическая нагрузка определяется из задачи на собственные значения, полученной линеаризацией уравнения равновесия. Проблема собственных значений для случая свободного защемления концов стержня решается вариационно-разностным методом. Для исследования послекритического поведения сжатого стержня применяется метод Ляпунова – Шмидта в сочетании с численными методами вычисления коэффициентов системы уравнений разветвления. Рассмотрены случаи ветвления равновесий сжатого стержня по одной собственной форме. Построены асимптотические формулы новых равновесий в окрестности точки бифуркации с учетом малой нормальной нагрузки. Реакция основания рассматривается в виде кубической функции от прогиба. Установлены условия для параметров нелинейности упругого основания, при выполнении которых сжатый стержень становится чувствительным к несовершенствам в виде малой поперечной нагрузки. Проведено сравнение полученных результатов для классического случая линейной формулы выражения кривизны осевой линии стержня через вторую производную прогиба и случая, когда кривизна аппроксимируется асимптотической формулой третьего порядка относительно прогиба.