ПРОДОЛЬНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНЕЧНОГО МОМЕНТНОГО УПРУГОГО СТЕРЖНЯ

Аннотация

Исследуются нестационарные продольные колебания моментного упругого стержня конечной длины. Для описания движения стержня используется система уравнений общей модели моментных упругих тонких тел без дополнительных гипотез. Уравнения этой модели учитывают продольные движения, изменения угла независимого микроповорота, а также поперечное обжатие стержня. Материал стержня полагается однородным и изотропным. Система уравнений движения дополняется физическими соотношениями, которые описывают связи перемещений, изменений углов и поперечного обжатия с усилиями. В отличие от классических моделей, в моментном стержне, кроме нормальных усилий, возникают дополнительные силовые факторы: дополнительные моменты, моментные перерезывающие усилия, моменты моментных напряжений. Соответственно, кроме упругих констант материала, учитываются дополнительные физические параметры среды, необходимые при учете моментных эффектов в материале. В качестве граничных условий на торцах стержня используются условия обобщенного шарнирного опирания. Начальные условия полагаются нулевыми.
Для построения решения используются разложения искомых функций и внешней нагрузки в тригонометрические ряды Фурье. Подстановка этих разложений в исходные соотношения приводит к системе уравнений относительно коэффициентов рядов, зависящих от времени. Для ее решения используется интегральное преобразование Лапласа по времени. В результате найдены выражения для искомых коэффициентов рядов разложений в пространстве изображений. Каждое из этих выражений представляет собой сумму трех произведений. Сомножителями в этих произведениях являются изображения по Лапласу коэффициентов разложений в ряд Фурье для нагрузки и для функций влияния. Функции влияния являются фундаментальными решениями (функциями Грина) исследуемой задачи. Оригиналы коэффициентов рядов для функций влияния находятся аналитически с помощью вычетов. Окончательные выражения для коэффициентов рядов разложения решений имеют вид сверток по времени. Ядрами этих интегральных представлений являются оригиналы коэффициентов рядов для функций влияния.
В качестве примера рассмотрена реакция моментного упругого стержня на воздействие нестационарной осевой нагрузки. Полученные результаты проиллюстрированы графически. Проведена оценка практической сходимости рядов разложений.