ВЕТВЛЕНИЕ РАВНОВЕСИЙ СЖАТОЙ УПРУГОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ВНУТРЕННИМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ
Аннотация
Рассматривается задача о потере устойчивости и послекритическом поведении сжатой ортотропной прямоугольной пластины на нелинейно-упругом основании, содержащей непрерывно распределенные поля дислокаций и дисклинаций и находящейся под действием малой нормальной нагрузки. Составляющие сжимающих усилий равномерно распределены по краям и действуют параллельно главным направлениям упругости. Задача сформулирована в виде аналога системы нелинейных уравнений Кармана для ортотропной пластины, содержащих функцию, называемую мерой несовместности, которая выражается через плотности краевых дислокаций и клиновых дисклинаций. Система уравнений учитывает малое поперечное давление и реакцию упругого основания в виде многочлена третьей степени от прогиба. Рассматриваются следующие краевые условия: все края пластины свободно защемлены или подвижно шарнирно оперты; два противоположных края пластины свободно защемлены или подвижно шарнирно оперты, а два других свободны от нагрузок. Функция напряжений ищется в виде двух составляющих: функции напряжений, вызванных наличием внутренних источников, определяемой из линейной краевой задачи, и функции напряжений, вызванных внешним воздействием сжимающих нагрузок и нелинейно-упругого основания, которая определяется из нелинейной краевой задачи. Нелинейная краевая задача исследуется методом Ляпунова –Шмидта. Для решения линеаризованного уравнения, из которого определяется критическое значение сжимающей нагрузки, применяется вариационный метод в сочетании с разностным методом. Строится система уравнений разветвления метода Ляпунова – Шмидта, которая исследуется численными методами. Исследовано послекритическое поведение пластины и выведены асимптотические формулы для новых равновесий в окрестности критической нагрузки. Для различных значений сжимающих нагрузок, параметров ортотропности пластины и параметра интенсивности внутренних напряжений установлены соотношения между значениями параметров основания, при которых сохраняется ее несущая способность в окрестности классического значения критической нагрузки.
