МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОЛОС СКОЛЬЖЕНИЯ В МЕТАЛЛАХ

Аннотация

Проведено теоретическое исследование процессов локализации пластической деформации в металлах. В рамках системы эволюционных уравнений для плотности дислокаций с учетом размножения и аннигиляции дислокаций установлена возможность бегущего решения для полосы скольжения. Показано, что исходная система имеет два состояния равновесия. Для суммарной плотности дислокаций и дислокационного заряда, нормированных на стационарное однородное решение для плотности дислокаций, – это состояния (0,0) и (1,0) на фазовой плоскости вышеуказанных переменных в безразмерном виде. Из анализа особых точек следует, что точка (0,0) является устойчивым узлом, а состояние равновесия (1,0) – седлом. В этом случае искомым решением исходной системы эволюционных уравнений является сепаратриса, идущая из точки (0,0) в точку (1,0), которая соответствует решениям в виде волны перепада для плотности дислокаций, формирующей полосу скольжения, и импульса для дислокационного заряда. Показано, что дислокационный заряд распространяется во фронте полосы скольжения, который движется со скоростью u = kV (V – дрейфовая скорость дислокаций, обусловленная внешней нагрузкой, коэффициент пропорциональности k удовлетворяет условию 0 < k < 1). Из анализа существования автомодельных решений следует, что неодородные волновые решения имеют место только при A = t1/t2 > 1, где t1 и t2 – соответственно времена релаксации суммарной плотности дислокаций и дислокационного заряда к однородному состоянию. Оценки показывают, что при существующих процессах генерации и аннигиляции дислокаций A > 1, то есть удовлетворяются условия формирования полосы скольжения заданного типа. Рассмотрена устойчивость полученных волновых стационарных автомодельных решений. В предположении, что отклонения от стационарных решений для плотности дислокаций и дислокационного заряда ограничены заданной областью и, считая отклонения малыми, получаем задачу Штурма – Лиувилля на собственные функции и собственные значения с нулевыми краевыми условиями на границе этой области. Соответствующее преобразование сводит задачу к уравнению типа уравнения Шредингера. Показано, что при определенных условиях спектр оператора Шредингера находится в левой полуплоскости, то есть отклонения плотности дислокаций и дислокационного заряда затухают по экспоненте с течением времени, и искомые стационарные решения асимптотически устойчивы. Рассмотрен вопрос, связанный с определением установившейся скорости распространения волн. Линеаризация исходной системы уравнений для плотности дислокаций и дислокационного заряда позволила получить линейное уравнение типа синус-Гордона, из решения которого определена установившаяся скорость волны. Показано, что для исходной системы уравнений при А > 1 произвольные начальные распределения искомых переменных с течением времени приобретают форму автомодельных решений и перемещаются с минимально возможной скоростью u = 2VA1/2/(1 + A).