ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РЕЛАКСАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЕ ИЗ НЕЛИНЕЙНО ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА, ПОДЧИНЯЮЩЕГОСЯ СООТНОШЕНИЮ РАБОТНОВА

Аннотация

Построено точное решение квазистатической задачи об определении напряженно-деформированного состояния полого цилиндра (толстостенной трубы) из физически нелинейного вязкоупругого материала в случае задания радиального перемещения внутренней поверхности трубы и давления на внешней поверхности, медленно меняющихся во времени, в частности задачи о релаксации напряжений в трубе. Предполагается, что материал однороден, изотропен, несжимаем и подчиняется определяющему соотношению вязкоупругости Работнова с двумя произвольными материальными функциями (функцией сдвиговой релаксации и функцией нелинейности), а краевые условия на торцах трубы обеспечивают состояние плоской деформации. Полученные формулы для напряжений содержат отношение радиусов трубы, заданное давление и интегральные операторы от композиции материальных функций и истории изменения перемещения внутренней поверхности трубы.

В случае задания постоянного радиального перемещения внутренней поверхности трубы (в условиях релаксации) вычислены все интегральные операторы, входящие в общее решение, и выведены простые алгебраические формулы для деформаций и напряжений в любой точке трубы через материальные функции определяющих соотношений, отношение радиусов трубы и заданное граничное перемещение, аналитически исследованы свойства кривых релаксации в произвольной точке трубы, распределение напряжений по радиальной координате и свойства средних по сечению окружных и осевых напряжений. Установлено, что одна материальная функция управляет только зависимостью напряжений от времени, а вторая – только зависимостью от радиальной координаты, что окружное и осевое напряжения могут убывать, возрастать и быть немонотонными по радиусу (в задаче о релаксации происходит разделение переменных и сфер влияния материальных функций). Доказано, что в случае нулевого внешнего давления кривые релаксации модулей всех напряжений во всех точках трубы подобны друг другу, убывают по времени и не имеют точек перегиба, отношение любых напряжений в любых двух точках трубы не зависит от времени, а отношение средних по сечению окружных и осевых напряжений зависит лишь от отношения радиусов трубы и не зависит от времени, материальных функций и граничного перемещения (в отличие от самих средних напряжений).