АСИМПТОТИКА КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК СЖАТОЙ УЗКОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ С ВНУТРЕННИМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ

Аннотация

Рассматривается задача об асимптотическом интегрировании модифицированной системы нелинейных уравнений Кармана, описывающей равновесие продольно сжатой удлиненной упругой прямоугольной пластины с внутренними напряжениями, лежащей на упругом основании. Внутренние напряжения могут быть вызваны непрерывно распределенными краевыми дислокациями и клиновыми дисклинациями или другими источниками. Сжимающее давление приложено к двум коротким краям параллельно длинным краям пластины. Рассматриваются краевые условия: длинные края пластины свободны от нагрузок, а короткие края свободно защемлены или подвижно шарнирно оперты. Вводится малый параметр, равный отношению ширины пластины к ее длине. Решение системы – сжимающая нагрузка, функция прогиба и функция напряжений – ищется в виде разложений в ряд по малому параметру. Система уравнений Кармана в безразмерных переменных приводится к бесконечной системе краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов асимптотических разложений для критической нагрузки, прогиба и функции напряжений. При этом для удовлетворения краевым условиям дополнительно вводятся функции пограничного слоя, сосредоточенные около закрепленных краев и исчезающие при удалении от них. Построены краевые задачи для определения функций пограничного слоя. Показано, что главные члены разложений по малому параметру для критической нагрузки и прогиба определяются из уравнения равновесия сжатой балки на упругом основании с краевыми условиями свободного защемления или подвижного шарнирного опирания концов. При этом главный член разложения в ряд функции напряжений имеет четвертый порядок малости по параметру относительной ширины пластины.