КВАЗИГАРМОНИЧЕСКАЯ ИЗГИБНАЯ ВОЛНА, РАСПРОСТРАНЯЮЩАЯСЯ В БАЛКЕ ТИМОШЕНКО, ЛЕЖАЩЕЙ НА НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Аннотация

Рассматривается модуляционная неустойчивость квазигармонической изгибной волны, распространяющейся в однородной балке, закрепленной на нелинейноупругом основании. Динамическое поведение балки определяется теорией Тимошенко. Модель Тимошенко, уточняющая техническую теорию изгиба стержней, предполагает, что поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформируемой срединной линии стержня; нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, равны нулю; учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом поперечных сечений. Уникальность модели заключается в том, что, позволяя хорошо описывать многие процессы, происходящие в реальных конструкциях, она остается достаточно простой, доступной для аналитических исследований. Система уравнений, описывающая изгибные колебания балки, сводится к одному нелинейному уравнению четвертого порядка относительно поперечных смещений частиц балки.

Методом многих масштабов получено нелинейное уравнение Шредингера – одно из основных уравнений нелинейной волновой динамики. Согласно критерию Лайтхилла определены области модуляционной неустойчивости. Показано, как границы этих областей смещаются при изменении параметров, характеризующих упругие свойства материала балки и нелинейность основания. Рассмотрены нелинейные стационарные волны огибающих. Получено и проанализировано качественно уравнение, обобщающее уравнение Дуффинга, которое содержит два дополнительных слагаемых в отрицательной степени (первой и третьей). Найдены решения уравнения Шредингера в виде солитонов огибающих и проанализированы зависимости их основных параметров (амплитуда, ширина) от параметров системы. В пределах области модуляционной неустойчивости показано динамическое поведение точек пересечения амплитуд и ширин «светлых» солитонов в случае мягкой нелинейности основания.