О ТОЧНЫХ И ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЯ-ПОЛОСЫ С МАЛОЙ СДВИГОВОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ ПРИ РАВНОМЕРНОМ ОСЕВОМ СЖАТИИ

Аннотация

Рассматривается двумерная линеаризованная задача об устойчивости стержня (полосы) из линейно упругого ортотропного материала, находящегося под действием однородного по длине и поперечному сечению напряжения сжатия. Без введения каких-либо упрощающих предположений и при точном удовлетворении статическим граничным условиям в точках продольных кромок проведена ее редукция к одномерным уравнениям, выведенным в двух
вариантах. В основу первого из них положено использование только тригонометрических функций (синуса и косинуса) по поперечной координате (SC-аппроксимации), приводящей к точным уравнениям, а при выводе уравнений второго варианта в качестве базисных используются синус, косинус (четные гармоники) и единица (SC1-аппроксимация). Показано, что в случае шарнирного опирания поперечных кромок стрежня выведенные уравнения позволяют выявить только одну практически полезную форму потери устойчивости (ФПУ), являющуюся сдвиговой.
Показано, что только при введении допущения об отсутствии нормального напряжения в продольных сечениях стрежня использование указанных аппроксимаций приводит к одномерным уравнениям, позволяющим исследовать изгибную ФПУ. Исходя из анализа результатов решений этих уравнений, найденных для стержня с шарнирно опертыми поперечными кромками, установлена теоретическая возможность потери устойчивости
стержня с числом полуволн (гармоник в тригонометрических функциях) по поперечной координате больше единицы. Такими решениями определяются значения критических нагрузок, которые ниже известных в литературе и не могут быть установлены исходя из существующих в литературе уточненных вариантов теории стрежней, пластин и оболочек.  
С использованием тригонометрических базисных функций при введении допущения об отсутствии нормального напряжения в продольных сечениях построен также такой вариант одномерных уравнений, который без каких-либо дополнительных преобразований допускает осуществить предельный переход к уравнению устойчивости стрежня по классической теории Кирхгофа. Показано, что уравнения этого варианта по точности эквивалентны уравнениям,построенным при указанном выше допущении на основе использования по поперечной координате SC1-аппроксимации перемещений, но отличаются от них по содержательности.