ВЫПУЧИВАНИЕ СЖАТОЙ УПРУГОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ СО СВОБОДНЫМИ КРАЯМИ

Аннотация

Исследуется влияние малой поперечной нагрузки на устойчивость сжатой в одном направлении упругой прямоугольной пластины со свободными продольными краями, лежащей на нелинейно-упругом основании. Пластина содержит источники внутренних напряжений в виде непрерывно распределенных краевых дислокаций и клиновых дисклинаций или другие источники, например тепловые. Реакция нелинейно-упругого основания учитывается в виде многочлена третьей степени от прогиба. Сжимающая нагрузка равномерно распределена по двум противоположным краям пластины, которые свободно защемлены или шарнирно оперты. Два других края пластины свободны. Рассматривается нелинейная краевая задача для модифицированной системы нелинейных уравнений Кармана, учитывающих внутренние напряжения. Заменой переменных задача сводится к последовательности двух задач, из которых линейная краевая задача определяет функцию напряжений, вызванных наличием внутренних источников, а другая, нелинейная, определяет прогиб пластины и функцию напряжений, обусловленных действием сжимающей нагрузки. С помощью метода Ляпунова - Шмидта исследуется ветвление решений модифицированной системы нелинейных уравнений Кармана. Критические значения параметра нагрузки определяются из линеаризованной на тривиальном решении задачи. При этом для решения линеаризованной задачи применяется вариационный метод в сочетании с конечно-разностным методом. Коэффициенты системы уравнений разветвления метода Ляпунова - Шмидта определяются с помощью численного метода. Исследовано послекритическое поведение пластины и выведены асимптотические формулы для новых состояний равновесия в окрестности критических нагрузок. Для различных значений параметров сжимающих нагрузок и параметра внутренних напряжений установлены соотношения между значениями параметров основания, при которых сохраняется ее несущая способность в окрестности классического значения критической нагрузки.