НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НАГРУЗКИ НА ОСНОВЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Аннотация
Исследуется напряженное состояние изотропной сферической оболочки под действием произвольной нагрузки на основе неклассической теории. При построении математической модели оболочки применяются трехмерные уравнения теории упругости. Перемещения представляются в виде полиномов по нормальной к срединной поверхности координате на две степени выше относительно классической теории типа Кирхгофа - Лява. В результате минимизации уточненного значения энергетического функционала Лагранжа получены система дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях и естественные граничные условия. Задача приведения двумерных уравнений к обыкновенным дифференциальным осуществляется путем разложения компонент перемещений и внешних нагрузок в тригонометрические ряды по окружной координате.
Решение сформулированной краевой задачи проводится методами конечных разностей и матричной прогонки. В результате получены перемещения в узлах сетки, для аппроксимации которых используются сплайны. Деформации оболочки находятся с помощью геометрических соотношений, тангенциальные напряжения получаются из соотношений закона Гука. Поперечные напряжения определяются непосредственным интегрированием уравнений равновесия трехмерной теории упругости.
Приведен пример расчета полусферической оболочки, жестко защемленной по нижнему контуру основания. Оболочка находится под действием ветровой нагрузки. Сравнение результатов, полученных по уточненной теории, с данными классической теории показало, что в зоне искажения напряженного состояния нормальные тангенциальные напряжения существенно уточняются и поперечные нормальные напряжения, которыми в классической теории пренебрегают, имеют один порядок с максимальными значениями основного изгибного напряжения.
Рассмотрено влияние относительной толщины на напряженное состояние оболочки. Установлено, что толщина оболочки существенно увеличивает погрешность классической теории при определении напряжений и оценке прочности элементов авиационных конструкций.
