ВЫПУЧИВАНИЕ И ПОСЛЕКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СЖАТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ С ВНУТРЕННИМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ, ЛЕЖАЩЕЙ НА НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Аннотация

Рассматривается задача о влиянии начальных несовершенств в виде малых поперечных нагрузок на потерю устойчивости и послекритическое поведение сжатой упругой прямоугольной пластины, лежащей на нелинейно-упругом основании. Пластина содержит в плоском состоянии непрерывно распределенные краевые дислокации и клиновые дисклинации или другие источники внутренних напряжений. Исследование ведется на основе модифицированной системы нелинейных уравнений Кармана для упругой пластины с дислокациями и дисклинациями, в которых дополнительно учитывается реакция основания в виде многочлена второй или третьей степени от прогиба. Рассмотрены два случая краевых условий: свободного защемления и подвижного шарнирного опирания краев. Задача сведена к решению двух задач: линейной краевой задачи для бигармонического уравнения, которая определяет функцию напряжений, обусловленных внутренними источниками, и задачи для системы нелинейных уравнений, из которых определяется прогиб и функция напряжений, вызванных внешним воздействием сжимающих нагрузок и нелинейно-упругого основания. Эта система записывается в виде нелинейного операторного уравнения, которое исследуется методом Ляпунова - Шмидта. Линеаризованное уравнение представляет собой многопараметрическую краевую задачу на собственные значения, которая решается конечно-разностным методом. Коэффициенты системы уравнений разветвления находятся численным методом. Исследовано послекритическое поведение пластины, и выведены асимптотические формулы для новых равновесий в окрестности критических нагрузок. Для различных значений параметров сжимающих нагрузок и параметра внутренних напряжений установлены соотношения между значениями параметров основания, при которых сохраняется несущая способность пластины в окрестности классического значения критической нагрузки.