ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ НАНОРАЗМЕРНЫХ ПОЛОГИХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК

В. А. Крысько-мл Кrysko Jr.; А. В. Кириченко Кirichenko; И. Е. Кутепов Кutepov

doi:10.32326/1814-9146-2018-80-4-446-455

В. А. Крысько-мл Кrysko Jr. Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А., Саратов, Российская Федерация
А. В. Кириченко Кirichenko Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А., Саратов, Российская Федерация
И. Е. Кутепов Кutepov Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, Российская Федерация

DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2018-80-4-446-455

Ключевые слова: динамическая устойчивость оболочек, наноразмерные осесимметричные пологие оболочки, хаотическая динамика, метод конечных разностей, етоды типа Рунге - Кутты, ляпуновские показатели

Аннотация

С применением принципа Гамильтона - Остроградского построена математическая модель колебаний геометрически нелинейных наноразмерных пологих осесимметричных сферических оболочек. В основу модели положены следующие соотношения и допущения: тело оболочки упругое, однородное и изотропное, применима гипотеза Кирхгофа - Лява, используется модифицированная моментная теория упругости для объяснения зависимости упругого поведения оболочки от размерного (зависимого) параметра; пологость оболочки определяется на основе гипотез В.З. Власова, геометрическая нелинейность - по Т. Карману. Предложен подход для определения «истинного» решения. Уравнение в частных производных сводится к задаче Коши методом конечных разностей второго порядка точности, которая решается несколькими методами типа Рунге - Кутты: метод Рунге - Кутты 4-го и 2-го порядков, метод Рунге - Кутты - Фелберга 4-го порядка, метод Кеш - Карпа 4-го порядка, Рунге - Кутты - Принса - Дорманда 8-го порядка, неявный метод Рунге - Кутты 2-го и 4-го порядков. Создан алгоритм и комплекс программ для получения численных результатов. Исследуется сходимость этих методов по пространственной и временной координате. В основу исследования положена качественная теория нелинейной динамики: анализируются сигналы, фазовые портреты 2D и 3D, спектры мощности Фурье, вейвлеты Морле, эпюры прогибов, сечения Пуанкаре и автокорреляционные функции, исследование знака ляпуновского показателя проводится с помощью методов Вольфа, Канца, Розенштейна. Приводится пример расчета для пластинок и пологих оболочек. Анализ полученных результатов показал, что с увеличением размерно-зависимого параметра характер колебаний переходит из хаотического в гармонический и величина динамической критической нагрузки увеличивается.

Литература

1. Fleck N.A., Muller G.M., Ashby M.F., Hutchinson J.W. Strain gradient plasticity: theory and experiments. Acta Metallurgica et Materialia. 1994. Vol. 42. P. 475-487. DOI: 10.1016/0956-7151(94)90502-9.
2. Nix W.D. Mechanical properties of thin films. Metallurgical Transactions A. 1989. Vol. 20. No 11. P. 2217-2245.
3. Lam D.C.C., Yang F., Chong A.C.M., Wang J., Tong P. Experiments and theory in strain gradient elasticity. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2003. Vol. 51. Iss. 8. P. 1477-1508.
4. Scheible D.V., Erbe A., Blick R.H. Evidence of a nanomechanical resonator being driven into chaotic response via the Ruelle-Takens route. Applied Physics Letters. 2002. Vol. 81. No 2. P. 1884-1886.
5. Mindlin R.D., Tiersten H.F. Effects of couple-stresses in linear elasticity. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1962. Vol. 11. P. 415-448.
6. Toupin R. A. Elastic materials with couple-stresses. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1962. Vol. 11. P. 385-414.
7. Salajeghe S., Khadem S.E., Rasekh M. Nonlinear analysis of thermoelastic damping in axisymmetric vibration of micro circular thinplate resonators. Applied Mathematical Modelling. 2012. Vol. 36. No 12. P. 5991-6000.
8. Asghari M., Ahmadian M.T., Kahrobaiyan M.H., Rahaeifard M. On the size-dependent behavior of functionally graded micro-beams. Materials & Design. 2010. Vol. 31. No 5. P. 2324-2329.
9. Nayfeh A.H., Younis M.I. Modeling and simulations of thermoelastic damping in microplates. Journal of Micromechanics and Microengineering. 2004. Vol. 14. No 12. P. 1711-1717.
10. Ke L.-L., Yang J., Kitipornchai S. Dynamic stability of functionally graded carbon nanotube-reinforced composite beams. Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2013. Vol. 20. No 1. P. 28-37.
11. Lifshitz R., Roukes M.L. Thermoelastic damping in micro- and nanomechanical systems. Physical Review B. 2000. Vol. 61. No 8. P. 5600-5609.
12. Reddy J.N. Microstructure-dependent couple stress theories of functionally graded beams. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2011. Vol. 59. No 11. P. 2382-2399.
13. Ma H., Gao X., Reddy J. A microstructure-dependent Timoshenko beam model based on a modified couple stress theory. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2008. Vol. 56. No 12. P. 3379-3391.
14. Yin L., Qian Q., Wang L., Xia W. Vibration analysis of microscale plates based on modified couple stress theory. Acta Mechanica Solida Sinica. 2010. Vol. 23. No 5. P. 386-393.
15. Lazopoulos K.A. On bending of strain gradient elastic micro-plates. Mechanics Research Communications. 2009. Vol. 36. No 7. P. 777-783.
16. Reddy J.N., Kim J. A nonlinear modified couple stress-based third-order theory of functionally graded plates. Composite Structures. 2012. Vol. 94. No 3. P. 1128-1143.
17. Sheremet'yev M.P., Pelekh B.L. K postroeniyu utochnennoy teorii plastin [On the construction of a refined theory of plates]. Inzhenernyy zhurnal [Engineering Magazine]. 1964. Vol. 4. Iss. 3. P. 34-41 (In Russian).
18. Yang F., Chong A.C.M., Lam D.C.C., Tong P. Couple stress based strain gradient theory for elasticity. International Journal of Solids and Structures. 2002. Vol. 39. No 10. P. 2731-2743.
19. Krysko-jr V.A., Awrejcewicz J., Papkova I.V., Krysko V.A. General theory of geometrically nonlinear size dependent shells taking into account contact interaction. Part 1, 2. Chaotic dynamics of geometrically nonlinear axially symmetric onelayer shells. Mathematical and Numerical Aspects of Dynamical System Analysis: Proceedings of the 14th Conference on Dynamical Systems - Theory and Applications. Eds. J. Awrejcewicz, M. Kazўmierczak, P. Olejnik, J. Mrozowski. 11-14 Dec. 2017. Loўdzў. Poland. P. 289-300.
20. Volmir A.S. Nelineynaya dinamika plastin i obolochek [Nonlinear Dynamic of Plates and Shells]. Moscow. Nauka Publ. 1972. 432 p. (In Russian).
21. Fehlberg E. Low-order classical Runge - Kutta formulas with step size control and their application to some heat transfer problems. NASA Technical Report R-315. 1969.
22. Fehlberg E. Klassische Runge - Kutta - Formeln vierter und niedrigerer Ordnung mit Schrittweiten-Kontrolle und ihre Anwendung auf Wa..rmeleitungsprobleme. Computing (Arch. Elektron. Rechnen.) Vol. 6. Iss. 1-2. P. 61-71. DOI: 10.1007/BF02241732.
23. Cash J.R., Karp A.H. A variable order Runge - Kutta method for initial value problems with rapidly varying right-hand sides. ACM Transactions on Mathematical Software. 1990. Vol. 16. No 3. P. 201-222. DOI:10.1145/79505.79507.
24. Dormand J.R., Prince P.J. A family of embedded Runge - Kutta formulae. Journal of Computational and Applied Mathematics. 1980. Vol. 6. No 1. P. 19-26. DOI: 10.1016/0771-050X(80)90013-3.
25. Lozi R. Can we trust in numerical computations of chaotic solutions of dynamical systems? World Scientific Series on Nonlinear Science. Topology and Dynamics of Chaos. In: Celebration of Robert Gilmore's 70th Birthday. 2013. Vol. 84. P. 63-98.
26. Devaney R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Second Edition. Addison-Wesley Publishing Company. 1989. 352 p.
27. Banks B.J., Davis G., Stacey P. On Devaney's Definition of Chaos. American Mathematical Monthly. Vol. 99. No 4. 1992. P. 332-334.
28. Knudsen C. Chaos without Periodicity. American Mathematical Monthly. Vol. 101. 1994. P. 563-565.
29. Gulick D. Encounters with Chaos. New York. McGraw-Hill. 1992.
30. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series. Physica D. 1985. Vol. 16. No 3. P. 285-317.
31. Kantz H. A robust method to estimate the maximum Lyapunov exponent of a time series. Physics Letters A. 1994. Vol. 185. No 1. P. 77-87. DOI:10.1016/0375-9601(94)90991-1.
32. Rosenstein M.T., Collins J.J., De Luca C.J. A Practical Method for Calculating Largest Lyapunov Exponents from Small Data Sets. Neuro Muscular Research Center and Department of Biomedical Engineering. Boston University. 1992.