Проблемы прочности и пластичности

ПРОДОЛЬНАЯ ВОЛНА, РАСПРОСТРАНЯЮЩАЯСЯ В ВЯЗКОУПРУГОМ ПО МОДЕЛИ МАКСВЕЛЛА СТЕРЖНЕ. ЧАСТЬ 1. АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И ЧАСТОТНО-ЗАВИСИМОГО ЗАТУХАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

В.И. Ерофеев Erofeev — 2025-04-07

Исследуется динамика стержня, материал которого подчиняется закону деформирования среды Максвелла. Распространение продольной волны в таком стержне описывается одномерным волновым уравнением, дополненным слагаемым, характеризующим вязкость материала. Решение уравнения отыскивается в виде бегущей гармонической волны. От исходного дифференциального уравнения в частных производных осуществляется переход к алгебраическому комплексному дисперсионному уравнению, связывающему частоту и волновое число, позволяющему вычислить фазовую и групповую скорости волны, определить закономерности ее распространения и затухания. При анализе дисперсионного уравнения выделены две задачи: 1) частота считается действительной величиной, а волновое число – комплексной величиной (так принято при решении краевых задач); 2) волновое число считается действительной величиной, а частота – комплексной величиной (так принято при решении задачи Коши). Подробно рассмотрена первая задача. Выявлено, что продольная волна, удовлетворяющая ее условиям, обладает следующими особенностями распространения: при увеличении действительной части волнового числа ее частота возрастает (при малой вязкости возрастает медленно, при большой вязкости – быстро), фазовая скорость сначала возрастает, а затем выходит на горизонтальную асимптоту, групповая скорость возрастает, достигает максимума, затем убывает, выходя на ту же горизонтальную асимптоту, что и фазовая скорость. Во всем диапазоне изменения действительной части волнового числа наблюдается аномальная дисперсия продольной волны (то есть групповая скорость больше, чем фазовая); затухание волны (определяемое мнимой частью волнового числа) сначала увеличивается с ростом частоты, затем выходит на горизонтальную асимптоту и становится частотно-независимым.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОНИКАНИЯ СТАЛЬНОГО УДАРНИКА В МЕЛКОЗЕРНИСТЫЙ БЕТОН РАЗЛИЧНЫХ СОСТАВОВ

В.В. Баландин Balandin — 2025-04-08

Проведено экспериментальное исследование проникания стальных цилиндрических ударников с оживальным оголовком в мелкозернистый бетон различного состава. В ходе исследования определялись зависимости силы сопротивления прониканию от времени для оживального ударника при различных скоростях удара в обращенном эксперименте. Эксперименты проводились на установке ПГ-57 с использованием мерного стержня с наклеенными на него тензорезисторами. Для разгона контейнеров с мелкозернистым бетоном использовалась пневматическая пушка калибра 57 мм. Скорости удара варьировались от 40 до 260 м/с. Исследовались бетонные смеси с различным отношением цемент/песок. Для этих смесей определялись зависимости силы сопротивления от времени и максимальные силы сопротивления прониканию. При проведении экспериментов получено, что максимальная сила сопротивления прониканию растет с увеличением концентрации цемента в бетонной смеси. Самые низкие значения максимальной силы сопротивления получены для бетонной смеси 1 к 10. С ростом концентрации цемента в бетонной смеси максимальная сила сопротивления прониканию оживального ударника возрастает примерно в 2-3 раза.
Для трех составов бетонной смеси 1 к 10, 1 к 5, 1 к 2 проведено исследование влияния скорости удара на величину максимальной силы сопротивления прониканию для цилиндрического ударника с оживальным оголовком. Сила сопротивления внедрению растет с увеличением скорости удара до скоростей 180–200 м/с. При увеличении скорости удара выше 200 м/с сила сопротивления прониканию остается практически постоянной.

УТОЧНЕННАЯ ТРАНСФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТЕРЖНЯ-ПОЛОСЫ, ЗАКРЕПЛЕННОГО НА ДВУХСТОРОННЕМ ОПОРНОМ ЭЛЕМЕНТЕ ЧЕРЕЗ УПРУГИЕ ПРОСЛОЙКИ. 2. ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

В.Н. Паймушин Paimushin — 2025-04-08

Рассматривается стержень-полоса, состоящий по длине из закрепленного и незакрепленного участков. Закрепленный участок конечной длины считается соединенным с жестким и неподвижным опорным элементом через упругие прослойки. Для представления перемещений стержня и прослоек приняты аппроксимации по сдвиговой модели С.П. Тимошенко с учетом их поперечного обжатия. На основе уравнений движения закрепленного и незакрепленного участков стержня, записанных в перемещениях, найдено точное аналитическое решение задачи о свободных и вынужденных гармонических колебаниях рассматриваемого стержня. Показано, что в рамках используемых аппроксимаций найденное решение разделяется на уравнения, соответствующие независимым между собою продольно-поперечным и изгибно-сдвиговым колебаниям, из которых набольший интерес представляет последний тип колебаний, происходящих в сравнительно низком диапазоне частот. Для них проведены численные эксперименты по определению собственных форм и частот, а также динамической реакции при резонансных колебаниях стержня-полосы, закрепленного на двухстороннем опорном элементе через упругие прослойки и выполненного из однонаправленного волокнистого композита на основе углеленты ЭЛУР-П и связующего XT-118. Показана значительная трансформация напряжений поперечного сдвига в стержне при переходе через границу от незакрепленного участка стержня к закрепленному, а также ярко выраженная локализация напряжений поперечного обжатия в области закрепленного участка, расположенной вблизи отмеченной границы. Выполнен анализ структуры безразмерных корней характеристического уравнения, соответствующего углам поворота поперечных сечений и прогибам закрепленного участка стержня. Отмечено, что при анализе резонансных колебаний стержня эти корни являются комплексными, что обусловлено введением комплексных модулей упругости для учета демпфирующих свойств материала.

ПРОЧНОСТНОЙ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ТРЕХСЛОЙНОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛИТЫ

Е.А. Мойсейчик Moiseychik — 2025-04-08

Проанализированы достоинства и недостатки трехслойных ортотропных плит. Показано, что при разработке конструкции таких плит необходимо прорабатывать технологию соединения элементов в составе конструкции. Использование лазерной сварки эффективно для соединения элементов небольших толщин. Такая сварка листовых элементов толщиной 12–50 мм имеет ряд ограничений, а прочностные характеристики соединений недостаточно исследованы. Поэтому при разработке плит большой грузоподъемности целесообразно конструктивное исполнение стальной трехслойной ортотропной плиты с применением электродуговой сварки. Показано, что большое количество пересечений сварных швов в соединениях элементов плит требует выполнения работ приемами, ведущими к снижению сварочных деформаций и предотвращению трещинообразования в плитах при действии низких температур эксплуатации, квазистатических и переменных нагрузок. Выполнен анализ напряженно-деформированного состояния плиты. Проведено испытание модельной и натурной плит на действие поперечных нагрузок. Установлено, что вследствие сварочных деформаций появляются отклонения фактической геометрии плиты от проектной. Этим можно объяснить различия экспериментальных и расчетных величин вертикальных перемещений. При испытании плиты не было выявлено разрушений прорезных швов, примененных для соединения элементов. Трещины при предельной нагрузке на модель плиты появлялись только в сварных швах, расположенных по периметру покрывочной плиты. Установлено, что сварная трехслойная плита имеет пересечения сварных швов, в которых зарождаются трещины. Это требует выявления трещиноопасных зон в плитах с использованием методов неразрушающего контроля и экспериментального исследования прочности конструктивных форм, содержащих конструктивные и сварочные концентраторы напряжений.

АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМОВ ОБНАРУЖЕНИЯ КОНТАКТОВ В МЕТОДЕ ДИСКРЕТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В.А. Горохов Gorokhov — 2025-04-09

Приведен краткий обзор публикаций, посвященных решению задач механики гранулированных сред методом дискретных элементов. В этих публикациях обсуждаются условия успешного применения алгоритмов и программного обеспечения, разрабатываемых для эффективного функционирования вычислительных систем, реализующих метод дискретных элементов. Отмечается, что наиболее трудоемкими в моделировании процессов деформирования методом дискретных элементов считаются вычисления, связанные с определением контактных сил. Ключевой проблемой является эволюционный характер контактов: во время деформирования исследуемой среды дискретные элементы могут вступать в контакт, который в дальнейшем может прерываться в зависимости от условий нагружения. В связи с этим необходима тщательная проработка организации и управления оперативной памятью связанных с компьютерным моделированием контактов. Основное внимание уделяется алгоритмам поиска дискретных элементов, вступающих в контакт. Эти алгоритмы должны быть робастными (то есть надежными), простыми в реализации и эффективными с точки зрения быстродействия и использования оперативной памяти. Сопоставляются два варианта алгоритма, основанные на применении вспомогательных (экранирующих) сеток: скрининг-алгоритм обнаружения контактов (Screening Contact Detection Algorithm) и алгоритм обнаружения контактов Munjiza-NBS (Munjiza-NBS Contact Detection Algorithm). Излагается краткое описание этих алгоритмов и их программной реализации. Приведены результаты верификации алгоритмов на тестовых задачах и сравнительного анализа их быстродействия. Показано, что выбранные алгоритмы обеспечивают достоверность информации о контактирующих в процессе движения дискретных элементах и могут успешно применяться в программной реализации метода дискретных элементов в задачах динамики гранулированных сред.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН В СТЕРЖНЕ МИНДЛИНА – ГЕРМАНА, ПОГРУЖЕННОМ В НЕЛИНЕЙНО-УПРУГУЮ СРЕДУ

А.В. Леонтьева Leonteva — 2025-04-09

Изучается распространение продольных волн в однородном стержне, погруженном в нелинейно-упругую среду. Динамическое поведение стержня определяется теорией Миндлина – Германа, которая пренебрегает гипотезой о пропорциональности поперечных деформаций продольным деформациям при осевом растяжении или сжатии. Для описания движения частиц в поперечном направлении вводится дополнительная функция, обеспечивающая большую точность модели.
Исходная система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению четвертого порядка относительно продольного смещения частиц стержня. Это уравнение, с одной стороны, позволяет получить эволюционное уравнение и найти его точное решение, с другой – допускает качественное исследование в двух частных случаях в переменных бегущей волны.
Показано, что эволюционное уравнение представляет собой уравнение Островского с дополнительным квадратично-нелинейным слагаемым. Методом простейших уравнений для эволюционного уравнения найдены точные решения из класса стационарных волн, сохраняющих свою форму и скорость в процессе распространения. Волны имеют вид солитона классического профиля. Тип нелинейности (мягкая, жесткая) среды влияет на полярность локализованной волны. Среде с мягкой нелинейностью соответствует солитон положительной полярности. Получены зависимости амплитуды, ширины и скорости нелинейной волны от параметров системы, характеризующих нелинейно-упругую среду.
Случаи, доступные для качественного исследования, возможны при равенстве нулю коэффициента при старшей производной. В одном случае исследуется уравнение ангармонического осциллятора с двумя типами квадратичной нелинейности. Получен первый интеграл уравнения и построены фазовые портреты при различных соотношениях параметров системы, влияющих на существование и вид фазовых траекторий. В другом случае исследуется классическое уравнение ангармонического осциллятора с квадратичной нелинейностью, которое достаточно хорошо изучено. Качественный анализ частных случаев показывает возможность существования в рассматриваемой системе локализованных и нелинейных периодических волн.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СРЕД

П.А. Вельмисов Velmisov — 2025-04-09

Проведено математическое моделирование механической системы, предназначенной для измерения давления рабочей среды в авиационных двигателях и состоящей из трубопровода и датчика давления, представляющего собой упругую пластину с чувствительным элементом. Для описания колебаний чувствительного элемента используется нелинейная модель механики твердого деформируемого тела – нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных для определения как поперечных, так и продольных деформаций. В математической модели механической системы учтено аэрогидродинамическое и тепловое воздействия на пластину. Для описания движения рабочей среды в трубопроводе используются уравнения аэрогидродинамики в модели несжимаемой среды. На основании метода малого параметра получены асимптотические уравнения, описывающие совместные движения рабочей среды и чувствительного элемента. Для определения температуры пластины и рабочей среды в трубопроводе используются уравнения нестационарной теплопроводности. Построена математическая модель, представляющая собой связанную нелинейную краевую задачу для системы дифференциальных уравнений в частных производных для определения пяти неизвестных функций – продольной и поперечной компонент перемещений пластины, потенциала скорости, температуры рабочей среды в трубопроводе, температуры материала пластины. Для решения тепловой задачи используется метод Фурье. Для решения дифференциальных уравнений, описывающих совместную динамику упругой пластины и рабочей среды в трубопроводе, применяются методы Фурье и Бубнова –Галеркина. Решение задачи сведено к исследованию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, связывающих величину давления в двигателе с величиной деформации чувствительного элемента. С помощью разработанной программы в системе Mathematica 12.0 произведен численный эксперимент для конкретных параметров механической системы и построены графики поперечной и продольной компонент перемещений пластины в средней точке пластины. Результаты численного эксперимента предназначены для анализа частоты и амплитуды колебаний упругого элемента датчика давления.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ В РАСЧЕТАХ ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБОЛОЧЕК ИЗ ГИПЕРУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ

Е.А. Коровайцева Korovaytseva — 2025-04-09

Представлена постановка физически и геометрически нелинейной начально-краевой задачи о деформировании оболочки вращения из гиперупругого материала с учетом внутреннего трения. Рассмотрены три модели вязкости – Фойгта, Максвелла и больших вязкоупругих деформаций. Для решения задачи используется метод прямых в сочетании с методом непрерывного продолжения по параметру. При этом производные разрешающих переменных по времени заменяются их четырехточечными аппроксимациями. Таким образом, нелинейная начальнокраевая задача сводится к нелинейной краевой задаче, решаемой последовательно для каждого временного слоя, параметр дифференцирования соотношений последней используется в форме, предложенной В.И. Шалашилиным. Рассмотрена задача о раздувании сферической оболочки из неогуковского материала. Исследованы случаи внезапно приложенного постоянного давления и гармонически изменяющегося во времени давления. Параметры классических моделей внутреннего трения выбраны такими, чтобы для моделей больших вязкоупругих деформаций и Максвелла совпадали величины времени релаксации, а для моделей Максвелла и Фойгта совпадали значения коэффициента вязкости. Для случая раздувания оболочки постоянным давлением использование модели больших вязкоупругих деформаций приводит к возникновению колебательного процесса с постоянной амплитудой, существенно меньшей амплитуды колебаний оболочки без учета внутреннего трения. В случае воздействия гармонически изменяющегося давления характер отличия результатов расчетов, полученных при использовании модели больших вязкоупругих деформаций, от результатов, полученных при применении моделей Фойгта и Максвелла, сохраняется. Исследование изменения упругих и вязких деформаций, рассчитываемых по моделям Максвелла и больших вязкоупругих деформаций, показало наличие колебаний упругой деформации, характеризующихся наименьшей частотой для модели Максвелла.

ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОМ ВЯЗКОУПРУГОМ ПОЛОМ ШАРЕ

С.Г. Пшеничнов Pshenichnov — 2025-03-28

Решается задача о распространении нестационарных продольных волн в шаре с концентрической полостью, состоящем из однородных вязкоупругих сферических слоев с условиями непрерывности перемещений и нормальных напряжений на границах между контактирующими слоями. На поверхность шара действует равномерно распределенная нормальная нагрузка, полость остается свободной. Решение задачи построено с использованием интегрального преобразования Лапласа по времени. Решение в оригиналах получено в новой форме, которая особенно удобна для численной реализации при большом количестве однородных слоев как при регулярных ядрах релаксации, так и при сингулярных ядрах Ржаницына – Колтунова. Эта новая форма, также подходящая для других задач, позволила существенно упростить динамические расчеты и с ростом числа слоев легко перейти к исследованию нестационарных процессов в шаре из вязкоупругого функционально-градиентного материала с непрерывно изменяющимися в радиальном направлении физико-механическими свойствами. Применен метод аппроксимации непрерывной неоднородности материала шара слоистой средой, часто используемый в стационарных динамических задачах для упругих, термоупругих и пьезоэлектроупругих тел. Правомерность такого подхода для нестационарных задач была ранее подтверждена расчетами автора для тел с цилиндрическими и плоскими границами. Для шара также наблюдалась сходимость результатов с увеличением числа слоев при непрерывном изменении нагрузки во времени. Исследованы переходные процессы при экспоненциальном типе неоднородности материала шара, в том числе неоднородности сингулярного ядра релаксации.

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ В ДВУМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ НА ОСНОВЕ СМЕШАННОГО МКЭ

М.Ю. Клочков Klochkov — 2025-04-09

Изложен алгоритм получения матрицы жесткости смешанного конечного элемента в форме четырехугольного фрагмента срединной поверхности тонкостенной конструкции. За узловые неизвестные приняты кинематические величины (приращения перемещений и их первые производные) и величины деформационные (приращения деформаций и приращения искривлений срединной поверхности). Для аппроксимации кинематических величин внутренней точки конечного элемента принимались бикубические функции формы с полиномами Эрмита третьей степени. Приращения деформаций и приращения искривлений аппроксимировались через узловые неизвестные билинейными функциями формы. Физическая нелинейность реализована на основе теории пластического течения. Компоненты тензора приращений упругих деформаций через компоненты тензора приращений напряжений определялись в криволинейной системе координат на основе соотношений механики сплошной среды с учетом гипотезы Кирхгофа – Лява. Компоненты тензора приращений пластических деформаций получены в криволинейной системе координат на основе гипотезы теории пластического течения об их пропорциональности компонентам девиатора напряжений при прямолинейности нормали к срединной поверхности. Для получения матрицы жесткости разработанного конечного элемента использовался нелинейный функционал, основанный на равенстве на шаге нагружения возможных и действительных работ заданных нагрузок и возникающих внутренних усилий, с заменой действительной работы внутренних усилий разностью полной и дополнительной работы внутренних усилий на шаге нагружения. После подстановки аппроксимирующих выражений в нелинейный смешанный функционал и выполнения минимизации по узловым неизвестным образуются две системы алгебраических уравнений относительно искомых узловых неизвестных. На основе этих систем алгебраических уравнений строится матрица жесткости конечного элемента размером 36x36. Матрица жесткости структуры формируется обычным для метода конечных элементов способом. На численном примере показана эффективность разработанного конечного элемента.

АВТОРЫ

Editorial Board — 2025-04-09

Авторы статей выпуска № 87(1).