Обсуждаются условия сильной эллиптичности в нелинейной теории упругости. Рассматриваются модели простого в смысле Коши материала, а также градиентной теории упругости. Уравнения состояния простого материала записываются при помощи плотности энергии деформации, заданной функцией градиента деформации. Для градиентной теории упругости плотность энергии деформации зависит от первого и второго градиентов деформации в случае теории типа Тупина – Миндлина или от первого, второго и третьего градиентов вектора перемещений в случае градиентной теории упругости третьего порядка. Сформулированы условия сильной эллиптичности уравнений равновесия и проанализирована их связь с устойчивостью в малом. Условия сильной эллиптичности сформулированы в терминах плотности энергии деформации – ее выпуклости на определенных деформациях. Для градиентной теории упругости условия сильной эллиптичности, определяемые как в теории систем уравнений в частных производных, налагают ограничения только на форму энергии деформации и сами деформации в зависимости от градиентов деформации максимального порядка. Устойчивость в малом определена как положительная определенность второй вариации потенциальной энергии на допустимых перемещениях. Связь эллиптичности и устойчивости в малом здесь рассматривается для первой краевой задачи – краевой задачи с краевыми условиями типа Дирихле. Продемонстрированы существенные отличия в рассматриваемых моделях. Так, если в случае простого материала выполнение условия сильной эллиптичности вызывает устойчивость в малом аффинной деформации в случае первой краевой задачи, для градиентной теории упругости аналогичное утверждение, вообще говоря, не имеет места. Достаточными условиями устойчивости выступает серия неравенств. В качестве специального случая градиентной теории упругости рассмотрена теория градиентной пороупругости, для которой условия сильной эллиптичности не выполняются, а выполняются условия эллиптичности в смысле Даглиса – Ниренберга.
In this paper, we discuss strong ellipticity conditions within nonlinear elasticity. We consider a Cauchy-type simple material model and strain gradient elasticity. The constitutive equations of a simple material are formulated using the strain energy density, which is given as a function of the deformation gradient. In strain gradient elasticity, the strain energy density depends on the first and second gradients of strain. For strain gradient elasticity of third order, it depends on the first, second and third deformation gradients. We formulate strong ellipticity conditions and analyze their relation to infinitesimal stability. These conditions are defined using the strain energy density and its convexity with respect to a particular class of deformations. In gradient elasticity, the strong ellipticity conditions, as defined in the theory of partial differential equations, constrain the form of the constitutive equations and the deformations themselves, depending on the deformation gradient of the highest order. Infinitesimal stability is defined as the positive definiteness of the second variation of potential energy with respect to admissible displacements. We consider the relationship between ellipticity and infinitesimal stability for the first boundary-value problem, which is a boundary-value problem with Dirichlet boundary conditions. We demonstrate an essential difference between the considered models. For example, in a simple material, strong ellipticity implies stability of affine deformations within the first boundary-value problem. However, within strain-gradient elasticity, this statement is generally incorrect. A series of inequalities serves as sufficient conditions. As a particular case of gradient elasticity, we discuss gradient poroelasticity. In this theory, the strong ellipticity conditions are not met; however, there is still an ellipticity property in the sense of Douglis – Nirenberg.